حل مسألة رياضية: تحليل وتطبيقات الجبر (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a^2 – b^2 = 10$ و$ab = 5$، فإننا نرغب في حساب قيمة $a^4 + b^4$. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام تقنيات رياضية مختلفة.

أولاً، نعلم أن $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) = 10$، ونعلم أيضًا أن $ab = 5$. يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب قيمة $a + b$ و$a – b$، حيث يكون إجماليهما هو $a + b + a – b = 2a$، وبالتالي يكون $a = \frac{a + b}{2}$.

الخطوة التالية هي حساب قيمة $a$ و $b$ باستخدام المعادلة $ab = 5$، ونحصل على $b = \frac{5}{a}$.

الآن، بعد أن حسبنا قيم $a$ و $b$، يمكننا حساب قيمة $a^4 + b^4$ باستخدام الصيغة:
$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 – 2a^2b^2$

نعلم أن $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$، لذا يمكننا حسابها باستخدام القيم التي حسبناها سابقًا.

الآن، لنقم بحساب $a^4 + b^4$:
$a^4 + b^4 = ((a + b)^2 – 2ab)^2 – 2(a^2b^2)$

باستخدام القيم المحسوبة سابقًا، يمكننا حساب $a^4 + b^4$ بشكل دقيق.

المرحلة الأولى: حساب $a$
$a = \frac{a + b}{2}$

المرحلة الثانية: حساب $b$
$b = \frac{5}{a}$

المرحلة الثالثة: حساب $a^4 + b^4$
$a^4 + b^4 = ((a + b)^2 – 2ab)^2 – 2(a^2b^2)$

بعد إجراء هذه الحسابات، سنكون قادرين على الوصول إلى قيمة $a^4 + b^4$ بدقة.

لحل المسألة وحساب قيمة $a^4 + b^4$، سنتبع الخطوات التالية:

1. استخدام المعادلات الأصلية:
   $a^2 – b^2 = 10$
   $ab = 5$

2. حساب $a$ باستخدام معادلة $a = \frac{a + b}{2}$:
   نقوم بإيجاد قيمة $a$ باستخدام هذه المعادلة.

3. حساب $b$ باستخدام معادلة $b = \frac{5}{a}$:
   نستخدم قيمة $a$ التي حصلنا عليها في الخطوة السابقة لحساب قيمة $b$.

4. استخدام القيم المحسوبة في صيغة $a^4 + b^4$:
   نستخدم القيم المحسوبة لحساب قيمة $a^4 + b^4$ باستخدام الصيغة:
   $a^4 + b^4 = ((a + b)^2 – 2ab)^2 – 2(a^2b^2)$

5. استخدام القوانين الجبرية:
   في هذا السياق، استخدمنا قانون تكوين الرباعي (Binomial Expansion) لتطوير $(a + b)^2$ وقانون الجمع والطرح لتبسيط التعابير.

6. التبسيط والحساب:
   نقوم بتبسيط التعابير وحساب القيم للوصول إلى الجواب النهائي.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم أعمق للعلاقات الرياضية بين الأعداد $a$ و $b$. هذه العمليات تعتمد على قوانين الجبر والجمع والطرح وتكوين الأعداد الرباعية.