حل مسألة رياضية: تحديد مسافة النزول في الجبل (مسألة رياضيات)

سرعة مركبة كريستال هي 30 ميلاً في الساعة. عند صعود الجبل، تقل سرعتها بنسبة خمسين في المائة، وعند نزول الجبل، تزيد سرعتها بنسبة عشرين في المائة. إذا كانت المسافة المقطوعة للوصول إلى قمة الجبل هي 60 ميلاً، والمسافة المقطوعة للنزول إلى قاع الجبل هي x ميلاً، فإن كريستال ستمرر الجبل كاملاً في 6 ساعات.

لحل هذه المسألة، لنبدأ بتحديد الزمن الذي يستغرقه كريستال للصعود إلى قمة الجبل. عند الصعود، تقل سرعتها إلى النصف، لذا فإن الزمن اللازم لصعود الجبل يساوي المسافة المقطوعة على السرعة الجديدة. وبما أن المسافة هي 60 ميلاً والسرعة الجديدة هي النصف من السرعة الأصلية (15 ميلاً في الساعة)، فإن الزمن المستغرق للصعود هو:

$\text{الزمن للصعود} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}} = \frac{60}{15} = 4 \text{ ساعات}$

الآن، لنحسب المسافة التي تستغرقها كريستال للنزول من قمة الجبل إلى قاعه. عند النزول، تزيد سرعتها بنسبة 20 في المائة، لذا فإن السرعة الجديدة هي 120 في المائة من السرعة الأصلية.

$\text{السرعة الجديدة للنزول} = \text{السرعة الأصلية} + (\text{السرعة الأصلية} \times 0.20) = 30 + (30 \times 0.20) = 36 \text{ ميلاً في الساعة}$

الآن يمكننا حساب الزمن الذي يستغرقه النزول من قمة الجبل إلى قاعه:

$\text{الزمن للنزول} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}} = \frac{x}{36}$

وبما أن كريستال يأخذ 6 ساعات لتمرير الجبل بأكمله، فإن المجموع الزمني للصعود والنزول يساوي 6 ساعات:

$4 + \frac{x}{36} = 6$

نحن نحتاج الآن إلى حل المعادلة لحساب قيمة $x$، وذلك باستخدام خطوات الجبر المعتادة:

$\frac{x}{36} = 6 – 4 = 2$

$x = 36 \times 2 = 72 \text{ ميلاً}$

إذاً، المسافة التي تقطعها كريستال أثناء النزول من قمة الجبل إلى قاعه هي 72 ميلاً.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنبدأ باستخدام القانون الأساسي في الفيزياء وهو معادلة السرعة التي تعبر عن العلاقة بين المسافة والزمن والسرعة:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

نستخدم هذه المعادلة لحساب الزمن اللازم لكريستال للصعود والنزول من الجبل. لنبدأ بحساب الزمن اللازم للصعود إلى قمة الجبل:

$\text{الزمن للصعود} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

ثم، نستخدم نفس القانون لحساب الزمن اللازم للنزول من قمة الجبل إلى قاعه.

بالنسبة للقوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون السرعة: يحدد العلاقة بين المسافة والزمن والسرعة.
2. قوانين النسب: نستخدم النسب لحساب الزيادة أو النقصان في السرعة عند الصعود أو النزول على التوالي.

الآن، لنقم بحل المسألة:

1. الزمن اللازم للصعود:
   $\text{الزمن للصعود} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}} = \frac{60}{30} = 2 \text{ ساعات}$

2. الزمن اللازم للنزول:
   نحتاج أولاً لحساب السرعة بعد النزول، وهي تزداد بنسبة عشرين في المئة:
   $\text{السرعة بعد النزول} = \text{السرعة الأصلية} + (\text{السرعة الأصلية} \times 0.20) = 30 + (30 \times 0.20) = 36 \text{ ميلاً في الساعة}$

الآن، نستخدم السرعة الجديدة لحساب الزمن:
$\text{الزمن للنزول} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة بعد النزول}} = \frac{x}{36}$

3. مجموع الزمنين للصعود والنزول يساوي 6 ساعات:
   $2 + \frac{x}{36} = 6$

نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $x$:
$\frac{x}{36} = 6 – 2 = 4$
$x = 36 \times 4 = 144 \text{ ميلاً}$

إذاً، المسافة التي يجب على كريستال قطعها أثناء النزول من قمة الجبل إلى قاعه هي 144 ميلاً.