حل مسألة رياضية: التناسب والعمليات الجبرية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\frac{w}{x} = \frac{1}{3}$ و $\frac{w}{y} = \frac{3}{4}$، فإنه يُطلب منا حساب قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$.

للبداية، سنقوم بحساب قيمة $x$ و $y$ بناءً على المعادلات المعطاة. نقوم بحل المعادلة الأولى للعثور على قيمة $x$:

$\frac{w}{x} = \frac{1}{3}$

نقوم بضرب الطرفين في $x$ للتخلص من المقام في المعادلة:

$w = \frac{x}{3}$

ثم نضرب الطرفين في 3 للتخلص من المقام في المعادلة:

$3w = x$

الآن أننا حصلنا على قيمة $x$، سنقوم بحل المعادلة الثانية للعثور على قيمة $y$:

$\frac{w}{y} = \frac{3}{4}$

نقوم بضرب الطرفين في $y$ للتخلص من المقام في المعادلة:

$w = \frac{3y}{4}$

ثم نضرب الطرفين في $\frac{4}{3}$ للتخلص من المقام في المعادلة:

$\frac{4w}{3} = y$

الآن لدينا قيم $x$ و $y$، ونستخدمها لحساب قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$:

$\frac{x + y}{y} = \frac{\frac{4w}{3} + 3w}{\frac{4w}{3}}$

نجمع المقامين:

$\frac{4w + 9w}{3}$

ثم نقسم الناتج على $\frac{4w}{3}$ للحصول على القيمة النهائية:

$\frac{13w}{4w} = \frac{13}{4}$

إذا كانت القيم المعطاة للنسب صحيحة، فإن قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$ تكون تساوي $\frac{13}{4}$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر، وسنستخدم القوانين الأساسية في الحسابات الجبرية. الهدف هو الوصول إلى قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$ باستخدام المعلومات المعطاة.

القانون الأول: قاعدة التناسب
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc$

القانون الثاني: حل المعادلات
إذا كانت لدينا معادلة في متغير واحد، يمكننا استخدام العمليات الجبرية لحلها والعثور على قيمة المتغير.

الآن لنبدأ بحل المسألة:

1. من المعادلة الأولى $\frac{w}{x} = \frac{1}{3}$، نستخدم قاعدة التناسب للحصول على قيمة $x$ عن طريق ضرب الطرفين في $x$:
   $w = \frac{x}{3}$
   $3w = x$

2. الآن نستخدم المعلومات من المعادلة الثانية $\frac{w}{y} = \frac{3}{4}$ للعثور على قيمة $y$ عن طريق ضرب الطرفين في $y$:
   $w = \frac{3y}{4}$
   $\frac{4w}{3} = y$

3. الآن لدينا قيم $x$ و $y$، نستخدمها في حساب قيمة التعبير $\frac{x + y}{y}$:
   $\frac{x + y}{y} = \frac{3w + \frac{4w}{3}}{\frac{4w}{3}}$

4. نبسط الكسور في المعادلة:
   $\frac{9w + 4w}{4w}$

5. نجمع المقامين:
   $\frac{13w}{4w}$

6. نقسم الناتج على $\frac{4w}{3}$ للحصول على القيمة النهائية:
   $\frac{13}{4}$

القوانين المستخدمة هي قاعدة التناسب لحل المعادلات، والعمليات الجبرية الأساسية (الضرب والجمع والقسمة) لتبسيط التعابير.