حل مسألة رياضية: أعداد، HCF، و LCM

المسألة الرياضية هي: إذا كان أكبر عامل مشترك لاثنين من الأعداد هو 20، وكان عاملين آخرين لضربهما هما 11 و 15، فما هي العدد الأكبر من بين العددين؟

لنقم بحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى مفهومين رئيسيين: “أكبر عامل مشترك” (HCF) و”أصغر مضاعف مشترك” (LCM).

أكبر عامل مشترك (HCF): هو أكبر عدد يقسم العددين بدون أن يترك باقي.

أصغر مضاعف مشترك (LCM): هو أصغر عدد يكون مضاعفًا لكل من الأعداد.

في هذه المسألة، الـ HCF هو 20، والـ LCM يمكن أن يكون العدد الذي ينتج عن ضرب 11 و 15، وهو 165.

للعثور على الأعداد اللتين نبحث عنهما، يجب أن نجد الأعداد التي يكون HCF بينهما هو 20 ويكون LCM لضربهما هو 165.

لنقم بتحليل 165 إلى عوامله الأولية:
$165 = 3 \times 5 \times 11$

نعلم أن الـ HCF هو 20، لذلك يجب أن تكون العوامل المشتركة بين العددين هي جزء من هذا العامل.

نرى أن 11 هو عامل مشترك بينما 3 و 5 ليستا كذلك. لذا، نستخدم 11 كعامل مشترك، ونقسم 165 على 11 لنحصل على العدد الآخر:
$\frac{165}{11} = 15$

إذاً، الأعداد هي 11 و 15. العدد الأكبر هو 15.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بأكبر عامل مشترك (HCF) وأصغر مضاعف مشترك (LCM). سنستعرض الخطوات بشكل مفصل مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. معرفة البيانات:

   • HCF بين العددين هو 20.
   • LCM للعددين يتألف من عوامل 11 و 15.

2. تحليل LCM:

   • نكتب LCM كضرب العوامل الأولية: $LCM = 3 \times 5 \times 11 = 165$.

3. البحث عن العددين:

   • نقوم بتحليل 165 إلى عوامله الأولية لفهم هيكله.
   • نعرف أنه يتكون من 3 و 5 و 11.

4. استخدام الـ HCF:

   • نعلم أن الـ HCF بين العددين هو 20.
   • نحاول إيجاد العوامل المشتركة بين الـ HCF و LCM.

5. حساب العدد الآخر:

   • نستخدم العامل المشترك الوحيد الذي يمكن أن يكون جزءًا من HCF وهو 11.
   • نقسم LCM على هذا العامل: $\frac{165}{11} = 15$.

6. الإجابة:

   • الأعداد هي 11 و 15.

القوانين المستخدمة:

• تحليل العدد إلى عوامل أولية: هنا استخدمنا قاعدة تحليل العدد إلى عوامله الأولية للعثور على LCM.

• قاعدة الـ HCF و LCM: نعلم أن HCF و LCM مرتبطان ببعضهما، حيث يكونوا علاقة معادلة: $HCF \times LCM = \text{العدد الأول} \times \text{العدد الثاني}$.

• استخدام الـ HCF: نستخدم الـ HCF لتحديد العوامل المشتركة بين العددين.

• القسمة للعثور على العدد الآخر: نستخدم القسمة للعثور على العدد الثاني بناءً على الـ HCF و LCM.

• الاستنتاج: نستنتج الإجابة بناءً على العوامل المشتركة والقسمة.