حل مسألة رياضية: أسس وتحويلات (مسألة رياضيات)

إذا كانت $27^8 = 9^q$، فما هو قيمة $q$؟

الحل:
لنقم بتفكيك الأسس وتحويلها إلى أسس متساوية. نعلم أن $27 = 3^3$ وأيضاً $9 = 3^2$. لذلك يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:
$(3^3)^8 = (3^2)^q$

ثم نقوم بضرب الأسس:
$3^{3 \times 8} = 3^{2 \times q}$

الآن نقارن الأسس:
$3^{24} = 3^{2q}$

بما أن القوة نفسها (3) على كلا الجانبين، يكون المعامل متساوياً:
$24 = 2q$

الآن نقوم بحساب قيمة $q$:
$q = \frac{24}{2}$

بالتالي:
$q = 12$

إذاً، قيمة $q$ هي 12.

بالطبع، دعونا نستكمل تفصيل الحل ونُلقي نظرة على القوانين التي تم استخدامها في هذه المسألة.

نبدأ بالتفكيك:

$(3^3)^8 = (3^2)^q$

هنا، استخدمنا قاعدة أسس الأسس ($(a^m)^n = a^{mn}$) لتحويل الأس الخارجي إلى ضرب:
$3^{3 \times 8} = 3^{2 \times q}$

ثم قمنا بمقارنة الأسين:
$3^{24} = 3^{2q}$

واستخدمنا قاعدة مساواة الأسين ($a^m = a^n \Rightarrow m = n$) للتوصل إلى:

$24 = 2q$

هنا قمنا بحساب القيمة المطلوبة لـ $q$:

$q = \frac{24}{2}$

التي أعطتنا:

$q = 12$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة أسس الأسس: $(a^m)^n = a^{mn}$
2. قاعدة مساواة الأسين: $a^m = a^n \Rightarrow m = n$

هذه القوانين أساسية في حل المسائل الرياضية التي تتضمن أسس، حيث تساعدنا في تبسيط وتحويل التعابير بشكل فعّال.