حل مسألة: دوال عكسية وتطبيقاتها (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = \frac{24}{x+3}$ و $g(x) = 3f^{-1}(x)$، فما قيمة $x$ عندما يكون $g(x) = 15$؟

نبدأ بحساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ لدالة $f(x)$:

$f(x) = \frac{24}{x+3}$

نريد إيجاد $f^{-1}(x)$، لذا نقوم بتبديل $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية ونحاول حل المعادلة للحصول على $y$ كدالة من $x$:

$x = \frac{24}{y+3}$

نحل لـ $y$:

$xy + 3x = 24$

$xy = 24 – 3x$

$y = \frac{24 – 3x}{x}$

وهذه تكون الدالة العكسية $f^{-1}(x)$. الآن، نستخدم $g(x) = 3f^{-1}(x)$:

$g(x) = 3 \times \frac{24 – 3x}{x}$

الآن نضع $g(x) = 15$ ونحل لـ $x$:

$15 = 3 \times \frac{24 – 3x}{x}$

نضرب كل جانب في $x$ لتجنب التجزئة:

$15x = 3(24 – 3x)$

$15x = 72 – 9x$

نضيف $9x$ إلى كلا الجانبين:

$15x + 9x = 72$

$24x = 72$

نقسم على $24$:

$x = \frac{72}{24}$

$x = 3$

إذاً، عندما $g(x) = 15$، قيمة $x$ تكون $3$.

بالطبع، دعوني أوضح الخطوات بشكل أكبر وأذكر القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في حل المسألة.

1. حساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$:

لحساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل متغيرات $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية $f(x)$، ثم نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على $y$ كدالة من $x$.

2. التعويض في $g(x)$:

نعرف أن $g(x) = 3f^{-1}(x)$، لذا نقوم بتعويض قيمة $f^{-1}(x)$ التي حسبناها في الخطوة السابقة في دالة $g(x)$.

3. حل المعادلة:

نضع قيمة $g(x)$ المعطاة ونحل المعادلة للعثور على قيمة $x$ المطلوبة.

الآن دعوني أوضح الخطوات الكاملة:

1. حساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$:

نعرف أن:
$f(x) = \frac{24}{x+3}$

لذا، نقوم بتبديل $x$ و $y$ في المعادلة:
$x = \frac{24}{y+3}$

ثم نقوم بحل المعادلة للحصول على $y$ كدالة من $x$:
$xy + 3x = 24$
$xy = 24 – 3x$
$y = \frac{24 – 3x}{x}$

هذه تكون الدالة العكسية $f^{-1}(x)$.

2. التعويض في $g(x)$:

نعرف أن:
$g(x) = 3f^{-1}(x)$

نستخدم الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ التي حسبناها لنكتب $g(x)$:
$g(x) = 3 \times \frac{24 – 3x}{x}$

3. حل المعادلة:

نضع قيمة $g(x) = 15$ ونحل لـ $x$:
$15 = 3 \times \frac{24 – 3x}{x}$

نقوم بحساب الجهتين من المعادلة وحلها كمعادلة خطية.

هذه القوانين الأساسية للجبر والدوال العكسية قد استخدمت في حل المسألة. من خلال استخدام هذه القوانين، نحل المسألة ونعثر على قيمة $x$ المطلوبة عند $g(x) = 15$.