حل مسألة: خطوط ومستويات في الفضاء (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا وجدت هناك مستوٍ يحتوي على كلا الخطين، فما قيمة $k$ للخط المعلم بالمعاملات: $\begin{pmatrix} -1 + s \\ 3 – ks \\ 1 + ks \end{pmatrix}$ والخط المعلم بالمعاملات: $\begin{pmatrix} t/2 \\ 1 + t \\ 2 – t \end{pmatrix}$؟

الحل:
لنبدأ بتحديد معادلات الخطين. للخط الأول:

$x = -1 + s$
$y = 3 – ks$
$z = 1 + ks$

وبالنسبة للخط الثاني:

$x = \frac{t}{2}$
$y = 1 + t$
$z = 2 – t$

نبحث عن المستوى الذي يحتوي على الخطين. المستوى يمكن تمثيله بمعادلة عامة للمستوى:

$Ax + By + Cz = D$

حيث $(A, B, C)$ هو القط الطبيعي للمستوى. لإيجاد هذا القط، يمكننا استخدام حاصل ضربين لمتجهين في المستوى. يمكن استخدام متجهين متعامدين على المستوى من أي نقطتين في المستوى. لنستخدم النقطة الأولى $(x_1, y_1, z_1)$ على كل خط.

نجد نقطتين على الخط الأول:
$(-1, 3, 1)$
$(-1+1, 3-k, 1+k) = (0, 3-k, 1+k)$

الآن نجد الفاصل بين هاتين النقطتين:
$(0-(-1), (3-k)-3, (1+k)-1) = (1, -k, k)$

نقطة ثانية على الخط الثاني:
$(\frac{0}{2}, 1+0, 2-0) = (0, 1, 2)$

ثم نجد الفاصل بينهما:
$(0-\frac{0}{2}, (1+0)-1, (2-0)-2) = (0, 0, 0)$

الآن نحسب حاصل الضرب للنقطتين على الخط الأول والنقطة على الخط الثاني:

$(1) \times (0) – (-k) \times (0) + (k) \times (0) = 0$

حصلنا على صفر، مما يعني أن المستوى الذي يحتوي على الخطين يمكن تمثيله بالمعادلة:

$0x – 0y + 0z = D$
$0 = D$

وبما أن $D = 0$، فإن المعادلة العامة للمستوى تصبح:

$0 = 0$

وهذا يعني أن المعادلة صحيحة لأي قيمة من $k$. لذا، لا يوجد قيمة محددة لـ $k$ التي تحقق الشرط المطلوب، بل المستوى يحتوي على الخطين بغض النظر عن قيمة $k$.

لحل المسألة وتحديد قيمة $k$ التي تجعل المستوى يحتوي على كلا الخطين، سنلتزم ببعض الخطوات الأساسية في الجبر الخطي والهندسة الفضائية. القوانين والمفاهيم المستخدمة تشمل:

1. المعادلات المعلمة للخطوط في الفضاء: يتم تمثيل الخطوط في الفضاء عادةً بواسطة معادلات معلمة. هذه المعادلات تعبر عن النقط التي تقع على الخط واتجاهه.

2. المستوى الذي يحتوي على الخطوط: إذا كان هناك مستوٍ يحتوي على كلا الخطين، فإن معادلة هذا المستوى يمكن أن تُكتب بشكل عام باستخدام المتغيرات $x$ و $y$ و $z$.

3. الشروط الضرورية لتواجد الخطوط في المستوى: عندما يحتوي المستوى على الخطوط، يجب أن تكون نقط الخطوط جميعها في المستوى، وهذا يعني أن نقطة من أحد الخطوط يجب أن تلبي معادلة المستوى.

بالنظر إلى المسألة، سنقوم بالخطوات التالية:

1. تمثيل الخطوط بمعادلات معلمة: سنستخدم المعادلات المعلمة لكل خط لتمثيل مواقع نقاطهم في الفضاء.

2. تحديد المعادلة العامة للمستوى: باستخدام النقاط المعروفة على الخطوط، سنحاول تحديد المعادلة العامة للمستوى الذي يحتوي على الخطوط.

3. فحص الشروط لتواجد الخطوط في المستوى: سنقوم بوضع نقطة من كل خط في المعادلة العامة للمستوى للتحقق مما إذا كانت النقط تنتمي إليه أم لا.

4. حل المعادلة للحصول على قيمة $k$ المطلوبة: إذا تبين أن المستوى يحتوي على الخطوط، سنحاول حل المعادلة لتحديد القيمة المناسبة لمعامل $k$.

التفاصيل الكاملة للحل والإجراءات المتبعة تم توضيحها في الإجابة السابقة. باستخدام هذه الخطوات والمفاهيم، نستطيع تحديد قيمة $k$ التي تجعل المستوى يحتوي على كلا الخطين في الفضاء الثلاثي.