مسائل رياضيات

حل مسألة: حساب فارق الحلول في المعادلة الثانوية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 02/03/2024
0

إذا كانت pp و qq هما الحلان المتميزان للمعادلة (x−3)(x+3)=21x−63(x-3)(x+3) = 21x – 63، حيث p>qp > q، فما قيمة p−qp – q؟

نبدأ بحل المعادلة:

مواضيع ذات صلة
(x−3)(x+3)=21x−63x2−9=21x−63x2−21x+54=0\begin{align*} (x-3)(x+3) &= 21x – 63 \\ x^2 – 9 &= 21x – 63 \\ x^2 – 21x + 54 &= 0 \end{align*}

الآن نستخدم القاعدة الخاصة بحل المعادلة ذات القوى الثانية:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث a=1a = 1، b=−21b = -21، و c=54c = 54. بالتالي:

x=−(−21)±(−21)2−4×1×542×1=21±441−2162=21±2252=21±152\begin{align*} x &= \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 – 4 \times 1 \times 54}}{2 \times 1} \\ &= \frac{21 \pm \sqrt{441 – 216}}{2} \\ &= \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} \\ &= \frac{21 \pm 15}{2} \end{align*}

هنا لدينا اثنين من الحلول:

x1=21+152=362=18x2=21−152=62=3\begin{align*} x_1 &= \frac{21 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18 \\ x_2 &= \frac{21 – 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{align*}

لكن يجب أن نتأكد أن p>qp > q. لذا، إذا كان pp هو الحل الأكبر و qq هو الحل الأصغر، فإننا نجد p=18p = 18 و q=3q = 3.

وبالتالي، قيمة p−qp – q هي:

p−q=18−3=15p – q = 18 – 3 = 15

إذاً، قيمة p−qp – q هي 15.

المزيد من المعلومات

في حل المسألة المعطاة، نبدأ بتطبيق القانون الجبري والتحويلات الجبرية لحل المعادلة الثانوية المعطاة:

المعادلة المعطاة هي:

(x−3)(x+3)=21x−63(x – 3)(x + 3) = 21x – 63

والخطوات الرئيسية في الحل هي كما يلي:

  1. ضرب الأعضاء:
    نبدأ بضرب العبارات في الجهتين اليسرى واليمنى للمعادلة لنحصل على معادلة من الدرجة الثانية بالصورة التالية:
x2−9=21x−63x^2 – 9 = 21x – 63
  1. ترتيب المعادلة:
    نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الأعضاء في الجهة اليسرى واليمنى على جانب واحد:
x2−21x+54=0x^2 – 21x + 54 = 0
  1. حل المعادلة:
    نقوم باستخدام القاعدة الخاصة بحل المعادلات ذات الدرجة الثانية، أي:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث a=1a = 1، b=−21b = -21، و c=54c = 54.

  1. حساب القيم الفعلية:
    نستخدم القاعدة السابقة لحساب القيم الفعلية للمتغير xx، ونحصل على الحلول x1=18x_1 = 18 و x2=3x_2 = 3.

  2. التحقق من الترتيب:
    نتحقق من أن p>qp > q حيث pp هو الحل الأكبر و qq هو الحل الأصغر.

  3. حساب الفارق بين الحلول:
    نقوم بطرح القيمة الأكبر من القيمة الأصغر للحصول على قيمة الفارق بين الحلول:

p−q=18−3=15p – q = 18 – 3 = 15

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

  • قانون الضرب في الجبر: لضرب العبارات للتخلص من الأقواس والعبارات الكسرية.
  • قانون حل المعادلات الثانوية: استخدام الصيغة العامة لحل المعادلات ذات الدرجة الثانية.
  • قوانين الحساب الجبري العامة: تنطبق في عمليات ترتيب المعادلات وحساب الحلول.
  • قانون الترتيب العددي: لترتيب الأعداد وحساب الفارق بينها.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المبينة أعلاه، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم كامل للعملية الجبرية التي قمنا بها.

اخر تحديث 02/03/2024
0