حل مسألة حسابية باستخدام الجبر (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب قيمة التالي: $\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2 + n}.$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام طريقة التجزئة الجبرية لتقسيم الكسر إلى جمع من كسور أصغر. يعتمد الحل على تحليل الكسور الفردية ومحاولة إيجاد قواعد تجزئة تساعدنا في تبسيط الجمع.

لنبدأ بتجزئة الكسر إلى كسور فردية. نعلم أن $n^2 + n$ يمكن كتابتها على الشكل $n(n+1)$. لذا، يمكننا كتابة الكسر كالتالي: $\frac{1}{n(n+1)}.$

الآن، يمكننا تقسيم هذا الكسر إلى جمع من كسور أصغر باستخدام طريقة الجمع الجبري. نكتب الكسر بالتفصيل كالتالي: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}.$

الآن، نستطيع كتابة المجموع بشكل طبيعي باستخدام هذه الكسور المفككة. يتم إلغاء الكسور المشتركة ويبقى لدينا الجمع التالي: $\left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{999} – \frac{1}{1000}\right).$

نجمع الكسور المتشابهة ونجد أن معظم الكسور تتبادل الإلغاء، ويبقى لدينا الجمع التالي: $1 – \frac{1}{1000}.$

إذًا، الجواب النهائي للمسألة هو: $1 – \frac{1}{1000}.$

لحل مسألة حساب المجموعة $\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n^2 + n},$ سنستخدم تقنيات الجبر وقوانين الكسور الجبرية. سنقوم بتحليل الكسر الأصلي وتجزئته إلى كسور فردية، ثم نقوم بجمعها.

نعلم أن الكسر الأصلي هو $\frac{1}{n^2 + n}.$

قمنا بتفكيك معامل $n^2 + n$ إلى $n(n+1)$ باستخدام قاعدة الجبر. لذا، يمكننا إعادة كتابة الكسر على النحو التالي: $\frac{1}{n(n+1)}.$

باستخدام قاعدة تجزئة الكسور، نقوم بتحليل هذا الكسر إلى كسور فردية: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}.$

الآن، لدينا كسورًا فردية يمكننا جمعها. نقوم بكتابة المجموع الأصلي بتفصيل: $\left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{999} – \frac{1}{1000}\right).$

باستخدام قانون إلغاء الكسور المشتركة، نقوم بإلغاء الكسور المتشابهة ونحسب الجمع. يمكن للكسور الواقعة بين القوسين أن تُبسط، ويظهر أن معظم الكسور تلغى، تاركة الجمع التالي: $1 – \frac{1}{1000}.$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة جبرية: تفكيك المعاملات الجبرية لتبسيط الكسور.
2. قانون تجزئة الكسور: تقسيم الكسور إلى كسور أصغر.
3. قانون إلغاء الكسور المشتركة: إلغاء الكسور المتشابهة لتبسيط الجمع.

إذًا، الجواب النهائي للمسألة هو: $1 – \frac{1}{1000}.$