حل مسألة: حجم جزء مقطوع من هرم مربع (مسألة رياضيات)

نترك لحظة الإجابة السابقة ونبدأ بحل المسألة:

نعلم أن الهرم مربع القاعدة، لذا مساحة قاعدته = $(8\sqrt{2})^2 = 128$ مربعات الوحدة.

المثلث الذي يشكل جزءًا من الواجهة الجانبية للهرم لديه قاعدة متساوية الأضلاع (مثلث متساوي الساقين) بطول 8 و10 و10. هذا المثلث يمكن أن يكون مقسمًا إلى مثلثين قائمي الزوايا بواسطة الخط الذي يمثل الإرتفاع وهو قوس طوله 6 (من النقطة التي تشكل الزاوية القائمة بين الوجهين المتعامدين للمثلث).

المثلث الأكبر:
مساحته = $(8 \times 6)/2 = 24$ مربعات الوحدة.

المثلث الأصغر:
مساحته = $(6 \times 10)/2 = 30$ مربعات الوحدة.

إجمالي مساحة الجزء المقطوع من الوجه الجانبي = 24 + 30 = 54 مربعات الوحدة.

الآن، حجم الجزء المقطوع من الهرم هو حجم هرم ذو قاعدة مربعة وارتفاعه 3 وحدات. لذا:

$V = \frac{1}{3} \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

$V = \frac{1}{3} \times 128 \times 3 = 128$

لكن لدينا معلومة مهمة: حجم الجزء المقطوع يساوي 32. لذا:

$128 – 54 = 32$

$74 = 32$

$X = 74 – 32 = 42$

لذا، القيمة المجهولة X هي 42.

لحل المسألة، نحتاج إلى النظر في الهندسة ثلاثية الأبعاد للهرم والمستخدمة فيها العديد من القوانين الهندسية والرياضية. سنقوم بتفصيل الحل وذكر القوانين المستخدمة:

1. قانون مساحة المثلث:
   نستخدم قانون مساحة المثلث لحساب مساحة المثلثات المتكونة من جزء الواجهة الجانبية للهرم.

2. قانون حجم الهرم:
   نستخدم قانون حجم الهرم لحساب حجم الجزء المقطوع من الهرم.

لنقم بتفصيل الحل خطوة بخطوة:

1. حساب مساحة القاعدة:
   قاعدة الهرم مربعة بحيث يكون طول ضلعها هو طول ضلع قاعدة الهرم. لذا، مساحة القاعدة = $(8\sqrt{2})^2 = 128$ مربع وحدة.

2. حساب مساحة الواجهة الجانبية المقطوعة:
   نعرف أن الهرم مقطوع بواسطة السطح الموازي لقاعدته وعلى بُعد 3 وحدات فوقها. لذا، السطح الذي يقطع الهرم يقسم الواجهة الجانبية إلى جزئين.

   • الجزء الأكبر: يشكل مثلثًا متساوي الأضلاع مع القاعدة، لذا مساحته = $(8 \times 6)/2 = 24$ مربع وحدة.
   • الجزء الأصغر: يشكل مثلثًا قائم الزاوية مع القاعدة، لذا مساحته = $(6 \times 10)/2 = 30$ مربع وحدة.

   إجمالي مساحة الواجهة الجانبية المقطوعة = 24 + 30 = 54 مربع وحدة.

3. حساب حجم الجزء المقطوع من الهرم:
   لحساب حجم الجزء المقطوع من الهرم، نستخدم قانون حجم الهرم:
   $V = \frac{1}{3} \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
   $V = \frac{1}{3} \times 128 \times 3 = 128$ مكعب وحدة.

4. حساب قيمة المتغير X:
   لدينا المعادلة التالية:
   $128 – 54 = 32$
   $74 = 32$
   $X = 74 – 32 = 42$

لذا، القيمة المجهولة X هي 42.