حل مسألة: جذور معادلة رباعية (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد مجموع قيمة المتغير $k$ بحيث تحتوي معادلة $2x^2 – kx + 8 = 0$ على حلين صحيحين متميزين.

لحل هذه المسألة، يجب أولاً مراجعة كيفية حساب الجذور للمعادلة الرباعية. يمكن استخدام الصيغة التالية لحساب الجذور:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث أن $a = 2$ و $b = -k$ و $c = 8$.

إذا أردنا أن تكون لدينا جذرين صحيحين مختلفين، فيجب على التعبير $b^2 – 4ac$ أن يكون مربعًا كاملاً وهو عدد صحيح، وذلك لأنه يجب أن يكون جذرًا حقيقيًا. وبما أن الجذر هو عدد صحيح فإن القيمة تكون عددًا صحيحًا كذلك.

لذلك، لنقم بحساب القيمة المميزة $b^2 – 4ac$ ونتحقق مما إذا كانت مربعًا كاملاً. في هذه الحالة، $a = 2$، $b = -k$ و $c = 8$.

نقوم بحساب $b^2 – 4ac$:

b^2 – 4ac = (-k)^2 – 4(2)(8) = k^2 – 64

الآن، نريد أن يكون هذا العبارة عبارة عن مربع كامل. لذلك، يجب أن نحسب مجموع القيم التي تجعل هذه العبارة مربعًا كاملاً.

بما أننا نريد أن يكون لدينا جذر حقيقي، فإن $k^2 – 64$ يجب أن يكون عددًا موجبًا. لذا:

k^2 – 64 \geq 0

من هذا نستنتج أن:

k^2 \geq 64

وبالتالي:

k \geq \sqrt{64} = 8 \quad \text{أو} \quad k \leq -\sqrt{64} = -8

هناك حل آخر يتمثل في النظر إلى معادلة الدالة نفسها. للحصول على جذرين مختلفين، يجب أن يكون الجزء تحت الجذر إيجابيًا، لذا:

b^2 – 4ac > 0

(-k)^2 – 4(2)(8) > 0

k^2 – 64 > 0

k^2 > 64

k > \sqrt{64} \quad \text{or} \quad k < -\sqrt{64}

k > 8 \quad \text{or} \quad k < -8

لذا، القيم الممكنة لـ $k$ هي جميع الأعداد الصحيحة التي تكون أكبر من 8 أو أقل من -8.

ومن ثم، مجموع جميع القيم الممكنة لـ $k$ هو:

8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 -8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0

وهو يُلغي ذاتيًا، فمجموع جميع الأعداد من 1 إلى 8 يعادل مجموع الأعداد من -1 إلى -8، وبالتالي يكون المجموع النهائي صفر.

المزيد من المعلومات

Starlink-3281: قمر الاتصالات الفضائي

تحليل كيميائي لمركب C30H48N2O4