حل مسألة توزيع العملات بين الأصدقاء (مسألة رياضيات)

عدد أصدقاء أليكس هو 12 ولديه X عملة. أقل عدد من العملات الإضافية التي يحتاجها حتى يمكنه إعطاء كل صديق على الأقل عملة واحدة ولا يتلقى صديقان على الأقل نفس عدد العملات هو 15. ما قيمة المتغير X؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحديد كمية العملات التي يملكها أليكس حاليًا ومن ثم حساب العدد الأدنى من العملات الإضافية التي يحتاجها.

في البداية، لنحسب عدد الأصدقاء الذين سيتلقون أعدادًا مختلفة من العملات. لدينا 12 صديقًا، لذلك سنحتاج إلى حساب أقصى عدد من الأصدقاء الذين سيتلقون عددًا فريدًا من العملات. هذا يتطلب حل المعادلة التالية:

$1 + 2 + 3 + \ldots + n \leq X$

حيث $n$ هو عدد الأصدقاء. في هذه الحالة، $n = 12$.

لحل المعادلة، نستخدم القاعدة التالية لمجموع التسلسل الحسابي:

$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$

وبمعرفة قيمة $n$، يمكننا حساب قيمة $X$.

سنبدأ بحساب قيمة $n$ التي تمثل أكبر عدد من الأصدقاء الذين سيتلقون أعدادًا فريدة من العملات:

$S_{12} = \frac{12 \times (12 + 1)}{2} = 6 \times 13 = 78$

إذاً، يجب أن يكون عدد العملات الحالي $X$ أكبر من أو يساوي 78.

الآن، نحتاج إلى معرفة عدد الأصدقاء الذين سيحتاجون إلى عملات إضافية. هذا يعني أننا نريد حساب الفارق بين المجموع الكلي للعملات التي يتلقاها الأصدقاء (وهي 1 إلى 12) والعدد الأدنى من العملات الذي يحتاجها كل صديق.

نعلم أن أقل عدد من العملات الإضافية المطلوبة هو 15، لذلك العدد الإجمالي من العملات التي يجب أن يكون لأليكس هو $X + 15$.

الآن، لنقوم بحساب العملات التي سيتلقاها الأصدقاء من 1 إلى 12:

$1 + 2 + 3 + \ldots + 12 = S_{12} = 78$

الآن، لنجد أقصى عدد من الأصدقاء الذين يحتاجون إلى عملات إضافية، عندما يكون العدد الأدنى المطلوب هو 15:

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = S_n < 15$

الآن، يجب أن نجد أصغر عدد صحيح $n$ بحيث يتحقق الشرط أعلاه.

باستخدام القاعدة $S_n$:

$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} < 15$

نبدأ بالتجريب:

$n(n + 1) < 30$

قد نلاحظ أن $n = 5$ لا يعمل، لأن $5 \times 6 = 30$ وهو أكبر من 30، لكن $n = 4$ يعمل:

$4 \times 5 = 20$

إذاً، يجب أن يكون هناك 4 أصدقاء على الأقل يحتاجون إلى عملات إضافية. يعني هذا أن العدد الإجمالي من العملات الإضافية التي يجب أن يمتلكها أليكس هو على الأقل 15، لذلك:

$X + 15 \geq 78$

من هنا، نحسب قيمة $X$:

$X \geq 78 – 15$

$X \geq 63$

إذاً، القيمة الغير معروفة لـ $X$ هي 63 عملة.

لحل المسألة، نستخدم مجموع التسلسل الحسابي ومبدأ توزيع العملات بين الأصدقاء. القوانين المستخدمة تتضمن:

1. مجموع التسلسل الحسابي:
   لحساب مجموع التسلسل الحسابي، نستخدم الصيغة:
   $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$
   حيث $S_n$ هو مجموع التسلسل الحسابي من العدد 1 إلى $n$.

2. توزيع العملات:
   لحساب عدد الأصدقاء الذين سيتلقون أعدادًا فريدة من العملات، نحتاج إلى توزيع العملات بين الأصدقاء بحيث لا يتلقى أحد نفس العدد. هذا يعني أننا نريد حل المعادلة:
   $1 + 2 + 3 + \ldots + n \leq X$
   حيث $n$ هو عدد الأصدقاء.

3. العدد الأدنى من العملات:
   نحتاج إلى معرفة عدد العملات الإضافية اللازمة حتى يمكن لكل صديق أن يتلقى على الأقل عملة واحدة، ولا يتلقى صديقان على الأقل نفس العدد من العملات.

4. التحقق من الشرط:
   بمعرفة العدد الأدنى من العملات الإضافية المطلوبة (15 في هذه المسألة)، نتحقق مما إذا كانت هذه العملات كافية لتلبية احتياجات الأصدقاء.

باستخدام هذه القوانين والمبادئ، نحل المسألة بترتيب الخطوات واستخدام الحسابات الأساسية لإيجاد الحل النهائي، الذي في هذه الحالة هو أن قيمة المتغير $X$ يجب أن تكون على الأقل 63 عملة.