حل مسألة: تقاطع المنحنيات الكوبية (مسألة رياضيات)

المعادلات:
$y = 3 – x^2 + x^3$
$y = 1 + x^2 + x^3$
المطلوب: إيجاد الفارق الأقصى بين إحداثيات $y$ لنقاط التقاطع بين المنحنيين.

للعثور على نقاط التقاطع، نضع المعادلتين متساويتين ونحل لقيمة $x$:
$3 – x^2 + x^3 = 1 + x^2 + x^3$

بعد تبسيط العملية:
$2 – 2x^2 = 0$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$

الآن، نحسب قيم الـ $y$ المقابلة لهذه القيم:
$y_1 = 3 – (1) + (1)^3 = 3$
$y_2 = 3 – (-1) + (-1)^3 = 1$
$y_3 = 1 + (1) + (1)^3 = 3$
$y_4 = 1 + (-1) + (-1)^3 = -1$

نقاط التقاطع هي $(1, 3)$ و $(-1, 1)$ و $(1, 3)$ و $(-1, -1)$.

الآن نحسب الفارق بين قيم $y$ المتناظرة:
$|3 – 1| = 2$
$|3 – (-1)| = 4$

أقصى فارق بين القيم هو 4.

لحل المسألة، بدأنا باستخدام قانون تساوي الدوال، الذي ينص على أننا يجب أن نحدد القيم المشتركة للمعادلتين المعطاة لنجد نقاط التقاطع بين المنحنيين.

بالتالي، بعد وضع المعادلتين متساويتين، حللنا المعادلة الناتجة لتحديد قيم $x$ التي تلبي هذه المعادلة. هنا استخدمنا قوانين جبرية بسيطة لحل المعادلة الكوبية.

بعد ذلك، بوجود قيم $x$ التي حصلنا عليها، استخدمنا كل من المعادلتين الأصلية لحساب قيم $y$ المقابلة لكل نقطة من نقاط التقاطع. هذا يعتمد على قانون وضع القيم في المعادلة وحساب الناتج.

أخيرًا، بعد حساب جميع نقاط التقاطع، استخدمنا القانون الرياضي لحساب الفارق بين أقصى قيمة $y$ وأدنى قيمة $y$ من بين نقاط التقاطع. في هذه الحالة، قمنا بحساب القيم المطلقة للفارق بين القيم لأن الفارق يمكن أن يكون إيجابيًا أو سالبًا، ولكننا نريد القيمة المطلقة للتركيز فقط على الفارق بغض النظر عن اتجاهه.

باستخدام هذه القوانين والخطوات الرياضية، تمكنا من حل المسألة والعثور على أقصى فارق بين قيم $y$ في نقاط التقاطع.