لنقوم بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:
إذا كان g(x)=34x+3، فما هي قيمة x التي تجعل g(2x)=2(g(x))؟
الحل:
نبدأ بتعريف g(2x) و 2(g(x)):
g(2x)=342x+3
2(g(x))=2×34x+3
الآن، نضع g(2x) مساويًا لـ 2(g(x)) ونقوم بحساب القيمة المناسبة لـ x :
342x+3=2×34x+3
نربع الطرفين للتخلص من الجذور:
(342x+3)3=(2×34x+3)3
42x+3=8×4x+3
نقوم بحل المعادلة:
2x+3=8x+24
ننقل جميع المصطلحات التي تحتوي على x إلى جهة واحدة:
3−24=8x−2x
−21=6x
ثم نقسم الطرفين على 6 للحصول على قيمة x:
x=−621=−27
لذا، القيمة التي تجعل g(2x)=2(g(x)) هي x=−27.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة المعطاة، نبدأ بوضع المعادلة التي تمثل الشرط المطلوب وهو g(2x)=2(g(x)). بما أن g(x)=34x+3، يمكننا استخدام هذا التعريف لتحديد g(2x) و2(g(x)) ومن ثم مقارنتهما.
لحساب g(2x)، نستبدل x بـ2x في التعريف لـg(x):
g(2x)=342x+3
ثم، لحساب 2(g(x))، نضرب تعريف g(x) بمعامل 2:
2(g(x))=2×34x+3
الآن، نقوم بوضع المعادلتين متساويتين:
342x+3=2×34x+3
لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية تكافؤ الأسس في الجذور الثلاثية وخاصية الضرب في حالة المعادلات:
(342x+3)3=(2×34x+3)3
42x+3=8×4x+3
ثم نقوم بحساب الحلول كالتالي:
2x+3=8x+24
3−24=8x−2x
−21=6x
x=−621=−27
باستخدام خاصية تساوي القيم في المعادلات، نجد أن x=−27.
القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:
- خاصية تكافؤ الأسس في الجذور الثلاثية.
- خاصية الضرب في المعادلات.
- قوانين حسابية بسيطة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.
هذه القوانين الحسابية تعتبر أساسية في الجبر والتحليل الرياضي، وهي مفتاح لفهم وحل معظم المسائل الرياضية.