حل مسألة النسبات بالخطوات المفصلة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\displaystyle\frac{a}{b} = 4$، و$\displaystyle\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$، و$\displaystyle \frac{c}{d} = 6$، فما هو قيمة التناسب $\displaystyle\frac{d}{a}$؟

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحويل الكسور إلى أشكال تسهل الحساب. لنقم بذلك:

1. لدينا $\displaystyle\frac{a}{b} = 4$، يمكننا كتابتها بشكل آخر على أنها $a = 4b$.
2. بالنسبة للعلاقة الثانية، $\displaystyle\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$، يمكننا تحويلها إلى $b = \frac{c}{3}$.
3. أما بالنسبة للعلاقة الثالثة، $\displaystyle \frac{c}{d} = 6$، يمكننا كتابتها بشكل آخر على أنها $c = 6d$.

الآن، نحتاج إلى العثور على قيمة $\displaystyle\frac{d}{a}$، ونستطيع فعل ذلك باستخدام العلاقات التي تمثل القيم المتعلقة بالمتغيرات. لنقم بذلك:

نستبدل قيم $a$ و $b$ في المعادلة $\displaystyle a = 4b$:

$a = 4b$

$a = 4\left(\frac{c}{3}\right)$

نستبدل قيم $c$ في المعادلة $b = \frac{c}{3}$:

$a = 4\left(\frac{c}{3}\right)$

$a = 4\left(\frac{6d}{3}\right)$

الآن نحسب قيمة $a$:

$a = 4 \times 2d$

$a = 8d$

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأصلية $\displaystyle\frac{d}{a}$:

$\displaystyle\frac{d}{a} = \frac{d}{8d}$

نقوم بإلغاء الـ $d$ المشتركة في البسط والمقام:

$\displaystyle\frac{d}{a} = \frac{1}{8}$

إذا كانت العلاقات المعطاة صحيحة، فإن قيمة $\displaystyle\frac{d}{a}$ تكون $\displaystyle\frac{1}{8}$.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وسنذكر القوانين المستخدمة.

لنبدأ بتوضيح الحل:

الهدف من هذه المسألة هو العثور على قيمة التناسب $\displaystyle\frac{d}{a}$ باستخدام العلاقات المعطاة:

1. $\displaystyle\frac{a}{b} = 4$
2. $\displaystyle\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$
3. $\displaystyle \frac{c}{d} = 6$

سنقوم بتحويل الكسور واستخدام العلاقات للوصول إلى قيمة $\displaystyle\frac{d}{a}$.

أولاً، سنستخدم العلاقة الأولى لتحويل $\displaystyle\frac{a}{b}$ إلى $a = 4b$. ثم سنستخدم العلاقة الثانية لتحويل $\displaystyle\frac{b}{c}$ إلى $b = \frac{c}{3}$. وأخيرًا، سنستخدم العلاقة الثالثة لتحويل $\displaystyle\frac{c}{d}$ إلى $c = 6d$.

الخطوات:

1. $\displaystyle a = 4b$
2. $\displaystyle b = \frac{c}{3}$
3. $\displaystyle c = 6d$

نستخدم هذه العلاقات للحصول على قيمة $a$:

$\displaystyle a = 4b = 4\left(\frac{c}{3}\right) = \frac{4c}{3}$

ثم نستخدم العلاقة الثالثة لتعويض قيمة $c$:

$\displaystyle a = \frac{4(6d)}{3} = \frac{24d}{3} = 8d$

الآن، نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأصلية $\displaystyle\frac{d}{a}$:

$\displaystyle\frac{d}{a} = \frac{d}{8d}$

نقوم بإلغاء الـ $d$ المشتركة في البسط والمقام:

$\displaystyle\frac{d}{a} = \frac{1}{8}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون التناسب المباشر: عندما يكونت النسبة بين كميتين متغيرتين ثابتة، يكون التناسب مباشرًا. في هذه المسألة، العلاقة $\displaystyle\frac{a}{b} = 4$ تمثل تناسبًا مباشرًا.

2. تحويل الكسور: لتسهيل الحسابات، يمكن تحويل الكسور إلى أشكال أخرى. في هذه المسألة، تم استخدام تحويل الكسور لتوسيع الفهم وتسهيل الحسابات.

3. استخدام العلاقات المتبادلة: في هذه المسألة، استخدمنا العلاقات المتبادلة بين المتغيرات لتحويل وتعويض القيم في المعادلات.

4. إلغاء العوامل المشتركة: في النهاية، قمنا بإلغاء الـ $d$ المشتركة في البسط والمقام للحصول على القيمة النهائية.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات، تمكنا من حل المسألة والوصول إلى قيمة $\displaystyle\frac{d}{a}$ وهي $\displaystyle\frac{1}{8}$.