حل مسألة: الميل وتقاطع الخطوط. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا مرت الخط $y = ax + b$ عبر النقطتين (4, 5) و (8, 17)، فما قيمة التعبير $a – b$؟

الحل:

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم الميل الذي يمكن حسابه باستخدام النقطتين المعطاة.

لنبدأ بحساب قيمة الميل ($a$). الميل هو التغيير في قيمة $y$ مقسومة على التغيير في قيمة $x$ بين النقطتين.

$a = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما النقطتان المعطاة. في هذه الحالة، سنستخدم النقطتين (4, 5) و (8, 17).

$a = \frac{{17 – 5}}{{8 – 4}} = \frac{{12}}{{4}} = 3$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $a$، يمكننا استخدام أحد النقطتين لحساب قيمة $b$، حيث نستخدم التعبير $y = ax + b$.

سنستخدم النقطة (4, 5)، لذا:

$5 = 3 \times 4 + b$
$b = 5 – 12 = -7$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $a$ و $b$، يمكننا حساب $a – b$:

$a – b = 3 – (-7) = 3 + 7 = 10$

إذاً، قيمة التعبير $a – b$ هي 10.

لحل المسألة التي تتعلق بمعرفة قيمة $a – b$ عندما يمر الخط $y = ax + b$ من خلال النقطتين (4، 5) و (8، 17)، نستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الأساسية في الجبر والهندسة الفراغية. إليك الخطوات بالتفصيل:

1. حساب الميل ($a$):
   الميل يعبر عن التغير في قيمة $y$ مقسومة على التغير في قيمة $x$ بين نقطتين على الخط.
   يتم حساب الميل باستخدام الصيغة:
   $a = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$
   حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما النقطتان على الخط. في هذه الحالة، نقوم بتعويض القيم $(4، 5)$ و $(8، 17)$ للحصول على قيمة $a$.

2. حساب قيمة $b$:
   بعد حساب قيمة الميل $a$، يمكننا استخدام أحد النقطتين لحساب قيمة $b$ في المعادلة $y = ax + b$. سنختار أحد النقطتين، وهنا نختار (4، 5). نعوض قيم $x$ و $y$ و $a$ للحصول على قيمة $b$.

3. حساب $a – b$:
   بمجرد الحصول على قيم $a$ و $b$، يمكننا حساب الفارق بينهما للحصول على قيمة $a – b$.

القوانين المستخدمة:

• صيغة الميل: تمثل التغير في $y$ مقسومة على التغير في $x$ بين نقطتين على الخط.
• معادلة الخط العامة ($y = ax + b$): تمثل العلاقة بين القيم $x$ و $y$ على الخط.
• استخدام النقطة في معادلة الخط: يمكن استخدام النقطة المعطاة لحساب قيمة $b$ في معادلة الخط.
• الجمع والطرح في الجبر: يتيح لنا حساب فروق بين الأعداد.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع حل المسألة بدقة وفهم تفصيلي للعلاقات بين النقاط والمعادلات.