حل مسألة الملء الخزان بفعالية (مسألة رياضيات)

المسألة:

هناك خزان بسعة 800 لتر، وهناك ثلاثة أنابيب: الأنبوب (أ) يملأ الخزان بمعدل 40 لتر في الدقيقة، والأنبوب (ب) يملأ الخزان بمعدل 30 لتر في الدقيقة، وأخيرًا الأنبوب (ج) الذي يفرغ الخزان بمعدل 20 لتر في الدقيقة. تبدأ عملية ملء الخزان بفتح الأنبوب (أ) لمدة دقيقة، ثم يُغلق ويفتح الأنبوب (ب) لمدة دقيقة، وأخيرًا يُفتح الأنبوب (ج) لمدة دقيقة. يتكرر هذا الدوران. متى سيكون الخزان ممتلئًا؟

الحل:

لنحسب صافي معدل الملء أو التفريغ في الدقيقة الواحدة:

• المعدل الصافي للأنبوب (أ): 40 لتر/دقيقة.
• المعدل الصافي للأنبوب (ب): 30 لتر/دقيقة.
• المعدل الصافي للأنبوب (ج): -20 لتر/دقيقة (نلاحظ السالب للتفريغ).

المعدل الصافي الإجمالي = (40 + 30 – 20) لتر/دقيقة = 50 لتر/دقيقة.

إذاً، يتم ملء الخزان بمعدل 50 لتر في الدقيقة. لملء الخزان بالكامل (800 لتر)، يحتاج ذلك إلى 16 دقيقة (800 ÷ 50 = 16).

لذلك، سيكون الخزان ممتلئًا بعد 16 دقيقة من بداية العملية.

تحليل المسألة:

نقوم بفحص كل أنبوب على حدة ونحسب معدلات الملء والتفريغ. لدينا ثلاثة أنابيب: (أ) يملأ، (ب) يملأ، و(ج) يفرغ. نستخدم القانون التالي:

معدل الملء = معدل الدخول – معدل الخروج

1. للأنبوب (أ): معدل الملء = 40 لتر/دقيقة.
2. للأنبوب (ب): معدل الملء = 30 لتر/دقيقة.
3. للأنبوب (ج): معدل التفريغ = 20 لتر/دقيقة.

المعادلة الإجمالية:

معدل الملء الإجمالي = (40 + 30 – 20) لتر/دقيقة = 50 لتر/دقيقة.

لحساب الزمن اللازم لملء الخزان:

زمن الملء = السعة الكلية ÷ معدل الملء الإجمالي

زمن الملء = 800 لتر ÷ 50 لتر/دقيقة = 16 دقيقة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون المعدلات: يقول إن معدل الملء أو التفريغ يمكن حسابه بطرح معدل الخروج من معدل الدخول.
2. قانون الحساب البسيط: يستخدم لحساب الزمن المطلوب للقيام بمهمة معينة عندما يكون لدينا معدل العمل.

باختصار، يتم استخدام هذه القوانين لحساب معدل الملء الإجمالي ومن ثم استخدام القانون البسيط لحساب الزمن اللازم لملء الخزان.