حل مسألة المثلثات باستخدام قاعدة هرون (مسألة رياضيات)

مثلث ABC له أضلاع بطول 5، 12، و13 وحدة، بينما مثلث DEF له أضلاع بطول 8، 15، و17 وحدة. لنحسب نسبة مساحة مثلث ABC إلى مساحة مثلث DEF.

أولاً، يمكننا استخدام قاعدة هرون لحساب مساحة المثلث ABC بمعرفة أضلاعه. قاعدة هرون تتيح لنا حساب مساحة المثلث عند معرفة أضلاعه دون الحاجة إلى طول الارتفاع. لمثلث ABC، النصف الدائرة المحيطة به تُحسب بمعادلة:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

حيث $a$, $b$, و$c$ هي أطوال الأضلاع، و$s$ هو النصف الدائرة المحيطة. في حالة مثلث ABC:

$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$

ثم يمكننا استخدام قاعدة هرون لحساب مساحة المثلث:

$A_{ABC} = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$

$A_{ABC} = \sqrt{15 \cdot (15-5) \cdot (15-12) \cdot (15-13)}$

$A_{ABC} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30$

الآن، لنقم بنفس الخطوات لحساب مساحة مثلث DEF. النصف الدائرة المحيطة به تكون:

$s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20$

ثم نحسب مساحة المثلث:

$A_{DEF} = \sqrt{20 \cdot (20-8) \cdot (20-15) \cdot (20-17)}$

$A_{DEF} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60$

الآن، نقوم بحساب النسبة بين مساحة مثلث ABC ومساحة مثلث DEF:

$\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

إذا كانت النسبة المطلوبة هي $\frac{1}{2}$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا قاعدة هرون لحساب مساحة المثلثات. القوانين المستخدمة هي قوانين هرون وقاعدة حساب مساحة المثلث.

القوانين:

1. قاعدة هرون:
   لمثلث بأضلاع $a$, $b$, و $c$:
   النصف الدائرة المحيطة ($s$) تُحسب بواسطة:
   $s = \frac{a + b + c}{2}$

   ومساحة المثلث ($A$) تُحسب بواسطة:
   $A = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$

2. حساب نسبة مساحة المثلثات:
   لحساب نسبة مساحة مثلث ABC إلى مساحة مثلث DEF:
   $\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}}$

الحل:

لمثلث ABC:
$s_{ABC} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$

ثم حسبنا مساحة المثلث ABC باستخدام قاعدة هرون:
$A_{ABC} = \sqrt{15 \cdot (15-5) \cdot (15-12) \cdot (15-13)} = \sqrt{900} = 30$

لمثلث DEF:
$s_{DEF} = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20$

ومن ثم حسبنا مساحة المثلث DEF بنفس الطريقة:
$A_{DEF} = \sqrt{20 \cdot (20-8) \cdot (20-15) \cdot (20-17)} = \sqrt{3600} = 60$

أخيرًا، حسبنا نسبة مساحة المثلثات:
$\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

تمثل هذه النسبة النسبة بين مساحة المثلث ABC ومساحة المثلث DEF.