حل مسألة اللوغاريتم: قيمة متغير مجهول (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: العثور على قيمة $s$ إذا كان $X \log_2 s = \log_2 (3s)$، والإجابة هي $s = 3$، فما قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:

نبدأ بمعادلة اللوغاريتمية المعطاة:

$X \log_2 s = \log_2 (3s)$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتفكيك اللوغاريتم الأول والتي تقول أن $\log_b (mn) = \log_b m + \log_b n$:

$X \log_2 s = \log_2 3 + \log_2 s$

الآن، لدينا $X \log_2 s$ في الجانب الأيسر و $\log_2 3 + \log_2 s$ في الجانب الأيمن من المعادلة. يجب علينا تحقيق المساواة بينهما.

ينظر إلى المعادلة، يبدو أن الطريقة الأسهل لتحقيق المساواة هي بجعل الجزء الأيمن يساوي الجزء الأيسر.

لذلك، نعبر عن $\log_2 3 + \log_2 s$ بواسطة مجموعهما:

$\log_2 3 + \log_2 s = \log_2 (3s)$

الآن نمتلك معادلة:

$X \log_2 s = \log_2 (3s)$

$\log_2 3 + \log_2 s = \log_2 (3s)$

من المعادلة الثانية، يمكننا ملاحظة أن $\log_2 (3s)$ تساوي مجموع $\log_2 3$ و $\log_2 s$، وهو ما يعني أنه عندما نأخذ لوغاريتم للقاعدة مع الناتج، نحصل على $3s$.

لذا، نحن الآن لدينا:

$X \log_2 s = \log_2 (3s)$

$\log_2 3 + \log_2 s = \log_2 (3s)$

يبدو أن الآن لدينا معادلتين متشابهتين! هذا يعني أنه يمكننا تعيينهما معًا:

$X \log_2 s = \log_2 3 + \log_2 s$

نقوم بإزالة اللوغاريتمات المشتركة من الجانب الأيمن:

$X \log_2 s – \log_2 s = \log_2 3$

$(\log_2 s)(X – 1) = \log_2 3$

الآن، نقارن الطرف الأيمن بالطرف الأيسر من المعادلة. نحن بحاجة إلى قيمة $s$ التي تجعل العبارة $(\log_2 s)(X – 1)$ تساوي $\log_2 3$.

وفقًا للمعلومة المعطاة أن $s = 3$، نحل المعادلة:

$(\log_2 3)(X – 1) = \log_2 3$

لحل المعادلة الآن، نقسم كلا الجانبين على $\log_2 3$، نلاحظ أنه يمكن إلغاء $\log_2 3$ من الجانبين:

$X – 1 = 1$

الآن، نقوم بإضافة 1 إلى كلا الجانبين للحصول على قيمة $X$:

$X = 2$

إذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2.

لحل المسألة التي تتعلق باللوغاريتمات والتي تطلب إيجاد قيمة متغير مجهول، نستخدم القوانين والخواص التالية للوغاريتم:

1. قانون الضرب في اللوغاريتم: $\log_b (mn) = \log_b m + \log_b n$.
2. قانون التقسيم في اللوغاريتم: $\log_b \left( \frac{m}{n} \right) = \log_b m – \log_b n$.
3. قانون الأس في اللوغاريتم: $\log_b (m^p) = p \log_b m$.
4. قانون التبديل في اللوغاريتم: يمكن تبديل مواقع الأساسات في اللوغاريتم ببعضها البعض دون تغيير في النتائج.
5. قانون المساواة للوغاريتم: إذا كانت $\log_b x = \log_b y$، فإن $x = y$.

باستخدام هذه القوانين، نبدأ بتحليل المسألة:

المعادلة المعطاة:
$X \log_2 s = \log_2 (3s)$

نستخدم قانون الأس في اللوغاريتم للتحليل:

$\log_2 (3s) = \log_2 3 + \log_2 s$

الآن نحن نمتلك معادلتين:

1. $X \log_2 s = \log_2 (3s)$
2. $\log_2 3 + \log_2 s = \log_2 (3s)$

نستخدم الخاصية رقم 5 (قانون المساواة للوغاريتم) لمطابقة الجزئين المساويين. ونحاول إيجاد قيمة $s$ التي تجعل الجزئين متساويين.

بالنظر إلى المسألة، نعلم أن $s = 3$ هو حلاً ممكنًا. ولكن نحتاج إلى معرفة قيمة $X$.

بعد تبسيط المعادلة، وجدنا أن $X = 2$، وهذا يعني أن القيمة المجهولة $X$ هي 2.

لذا، الحل النهائي هو $X = 2$، $s = 3$.