حل مسألة الكومبيناتيوريكس: وضع الكرات في الصناديق (مسألة رياضيات)

عدد الطرق لوضع 4 كرات لا تميز بينها في صناديق لا تميز بينها هو مسألة رياضية تعتمد على مفهومات في الإحتمالات. لفهم هذه المسألة بشكل أفضل، لنقم بتجسيد الكرات بوحدات تمثل كل كرة وصناديق البساطة.

لنعتبر الصناديق A و B، ولنمثل وضع الكرات في الصناديق باستخدام ترتيبات من الحروف A و B، حيث يمثل كل حرف كرة وموضعها في الصندوق المرتبط به. على سبيل المثال:

• AABB: يعني وضع كرتين في الصندوق A وكرتين في الصندوق B.
• ABAB: يعني وضع كرة في الصندوق A، ثم كرة في الصندوق B، ثم كرة أخرى في الصندوق A، وأخيرًا كرة في الصندوق B.

الآن، لنحسب عدد الطرق الممكنة. يمكن وضع الكرات في أي ترتيب في الصناديق، وهنا يكمن السر في استخدام مفهوم الكومبيناتيوريكس. الصيغة لعدد الطرق هي:

$C(n + r – 1, r)$

حيث $n$ هو عدد العناصر المختلفة التي يمكن وضعها (في هذه الحالة 2 صندوق)، و $r$ هو عدد العناصر التي يتم اختيارها (في هذه الحالة 4 كرات).

بما أننا نريد وضع 4 كرات في 2 صندوق، يكون لدينا:

$C(2 + 4 – 1, 4) = C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5$

لذلك، هناك 5 طرق ممكنة لوضع الكرات في الصناديق المتاحة.

في حل مسألة وضع الكرات في الصناديق، نستخدم مفهوم الكومبيناتيوريكس وقوانينه للوصول إلى الإجابة. لنلقي نظرة أعمق على الحل:

1. تمثيل الكرات والصناديق:

   • لدينا 4 كرات (ممثلة بأحرف مثل A) وصندوقين (ممثلين بأحرف B).
   • يمكن تمثيل وضع الكرات في الصناديق باستخدام ترتيبات مختلفة من الأحرف A و B.

2. قاعدة الكومبيناتيوريكس:

   • تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $r$ عناصر من بين $n$ عنصر.
   • صيغتها: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

3. تحديد القيم:

   • في هذه المسألة، لدينا $n = 2$ (عدد الصناديق) و $r = 4$ (عدد الكرات).

4. حساب عدد الطرق:

   • نستخدم قاعدة الكومبيناتيوريكس للحصول على عدد الطرق الممكنة:
     $C(2 + 4 – 1, 4) = C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!}$
     $= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 5$

5. الإجابة:

   • يوجد 5 طرق ممكنة لوضع الكرات في الصناديق.

لذلك، يتم حل المسألة باستخدام قاعدة الكومبيناتيوريكس التي تقوم بحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب عناصر معينة من بين مجموعة أخرى. في هذه الحالة، تساعدنا هذه القاعدة على حساب عدد الطرق لوضع 4 كرات في 2 صندوق.