حل مسألة الكسر الرياضي: تحليل وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“ما هو مجموع جميع القيم الصحيحة الإيجابية لـ $n$ بحيث تكون الكسر $\frac{n+18}{n}$ عددًا صحيحًا؟”

الحل:

لنبدأ بفحص الشرط الذي يجعل الكسر $\frac{n+18}{n}$ عددًا صحيحًا. يمكننا كتابة الكسر بشكل آخر كالتالي:

$\frac{n+18}{n} = 1 + \frac{18}{n}$

لاحظ أن الكسر $\frac{18}{n}$ يمكن أن يكون عددًا صحيحًا إذا كانت $n$ تقسم 18 دون أن تترك باقي. لنفحص جميع القيم الممكنة لـ $n$ على هذا الأساس.

$n$ يمكن أن تكون أحد القيم التالية:

$n = 1, 2, 3, 6, 9, 18$

لأن 18 تقسم بدون باقي عندما تكون $n$ هي أي من هذه القيم. الآن، لنجمع هذه القيم:

$1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$

إذاً، المجموع المطلوب هو 39.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة ونذكر القوانين الرياضية المستخدمة.

المسألة تتعلق بالكسر $\frac{n+18}{n}$، ونريد أن يكون هذا الكسر عددًا صحيحًا. يعني ذلك أن يكون الجزء الصحيح للكسر يساوي 1 والجزء الكسري يكون صفرًا.

نقوم بتمثيل الكسر بشكل مكمل كالتالي:

$\frac{n+18}{n} = 1 + \frac{18}{n}$

الشرط الذي يجعل الكسر عددًا صحيحًا هو أن يكون الجزء الكسري $\frac{18}{n}$ عددًا صحيحًا أيضًا. وبما أن 18 يمكن أن يكون مكونًا من عدة أزواج من العوامل، يجب أن نحدد القيم الممكنة لـ $n$ التي تجعل هذا الجزء الكسري عددًا صحيحًا.

لذا، نبدأ بفحص العوامل الممكنة للعدد 18:

$n = 1, 2, 3, 6, 9, 18$

لأننا نبحث عن القيم التي تجعل الجزء الكسري $\frac{18}{n}$ عددًا صحيحًا، وهذا يحدث عندما يكون $n$ هو أحد القيم التي تقسم 18 بدون باقي.

القانون المستخدم في هذا السياق هو قانون القسمة، الذي ينص على أنه إذا كان لدينا عددان $a$ و $b$، فإن القسمة $a \div b$ تعني أننا نبحث عن العدد $x$ الذي إذا تم ضربه في $b$ سيعطينا $a$. في حالتنا، $n$ يقسم 18 بدون باقي.

بعد أن قمنا بتحديد القيم الممكنة لـ $n$، نقوم بجمعها معًا للحصول على الإجابة النهائية:

$1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$

إذاً، الجوانب المستخدمة في الحل هي قوانين الكسر والقسمة، والتحديد الدقيق للقيم التي تلبي الشرط المطلوب.