حل مسألة الكسر الجبري (مسألة رياضيات)

لنقم بتحليل تعبير الكسر:

للتحقق من القيم التي يكون فيها هذا الكسر غير سالب، نحتاج إلى فحص النسبة المئوية للأعداد في الكسر. يتوجب علينا أولاً حل المعادلة التالية:

ومنها يأتي:

حللنا المعادلة للعثور على القيم المحتملة لـ $x$. الآن، نستطيع استخدام هذه القيم لتحليل سلوك الكسر. إذا كان المقام (الجزء السفلي) موجبًا، فإن الكسر سيكون غير سالب عندما يكون البسط (الجزء العلوي) أيضًا موجبًا.

بما أننا نفهم أن $x^3 = 8$ عند $x = 2$. الآن سنقوم بتحليل سلوك الكسر عند هذه القيم. لذلك، نحتاج إلى استخدام العامل المشترك والتحليل الجبري لتقسيم البسط على المقام.

بعد ذلك، يمكننا استخدام أسلوب التحليل الجبري لفحص العلامات في كل منطقة بين النقاط الحرجة (أي $x = 2$).

سنبدأ بتحليل العلامات على فترات الانقسام:

1. عند $x < 2$
2. بين $2$ و $+\infty$
3. بين $2$ و $-\infty$

للتحقق من علامة الكسر، يجب فحص علامة كل جزء من البسط والمقام.

عند $x < 2$:

جميع الأعضاء في البسط والمقام سالبة، مما يعني أن الكسر إيجابي.

عند $x > 2$:

جميع الأعضاء في البسط والمقام سالبة، مما يعني أن الكسر إيجابي.

نتيجة: الكسر إيجابي عند $x < 2$ و $x > 2$.

المجال الذي يجعل الكسر غير سالب هو:

لحل المسألة وتحديد القيم التي يكون فيها الكسر غير سالب، يتعين علينا اتباع عدة خطوات واستخدام عدة قوانين في الجبر والتحليل العددي. إليك الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. حل المعادلة الجبرية:
   نبدأ بحل المعادلة $8 – x^3 = 0$ لأن القيمة في المقام لا يمكن أن تكون مساوية للصفر. بحل هذه المعادلة، نحصل على $x^3 = 8$، وبالتالي $x = 2$. هذه الخطوة تعتمد على قانون حل المعادلات الجبرية.

2. تحليل الكسر:
   نقوم بتحليل الكسر $\frac{x – 10x^2 + 25x^3}{8 – x^3}$ باستخدام عملية تحليل الكسور إلى جزيئات أقل، مثل تقسيم البسط والمقام بالعوامل المشتركة. هذه الخطوة تعتمد على قوانين التحليل الجبري.

3. تحليل علامات الكسر:
   نقوم بتحليل علامات الكسر في الفترات الفاصلة بواسطة نقاط الانقسام، وهي النقاط التي تحصل عندما يكون المقام أو البسط يساوي صفر. نقوم بتحديد علامات الكسر في كل فترة ما بين هذه النقاط لمعرفة إشارة الكسر في كل فترة. هذه الخطوة تعتمد على قوانين التحليل العددي.

4. تحديد المجالات الإيجابية للكسر:
   بعد تحليل علامات الكسر في كل فترة، نحدد المجالات التي يكون فيها الكسر إيجابيًا، أي عندما يكون البسط والمقام موجبين أو سالبين في نفس الوقت.

استخدمت هذه القوانين والخطوات لحل المسألة وتحديد المجالات التي يكون فيها الكسر غير سالب. باستخدام هذه العمليات، تم تحديد الإجابة التي تشير إلى المجالات التي يكون فيها الكسر غير سالب، وهي $(- \infty, 2) \cup (2, +\infty)$.