حل مسألة: القيمة القصوى للتعبير الجذري (مسألة رياضيات)

للعثور على القيمة القصوى للتعبير $\sqrt{25 + x} + \sqrt{25 – x}$ عند $-25 \le x \le 25$، يمكننا استخدام مفهوم تكامل الحدود. سنقوم بحساب المشتقة الأولى للتعبير الذي نريد تحديد قيمته القصوى:

f(x) = \sqrt{25 + x} + \sqrt{25 – x}

لحساب المشتقة، نستخدم قاعدة سلسلة للدوال. سنحتاج إلى حساب مشتقة كل جزء من الجذرين على حدة.

مشتقة الجذر الأولى هي:

\frac{d}{dx}(\sqrt{25 + x}) = \frac{1}{2\sqrt{25 + x}} \times \frac{d}{dx}(25 + x) = \frac{1}{2\sqrt{25 + x}}

مشتقة الجذر الثانية هي:

\frac{d}{dx}(\sqrt{25 – x}) = \frac{1}{2\sqrt{25 – x}} \times \frac{d}{dx}(25 – x) = -\frac{1}{2\sqrt{25 – x}}

الآن، نجمع المشتقتين معًا للحصول على المشتقة الأولى للتعبير $f(x)$:

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25 + x}} – \frac{1}{2\sqrt{25 – x}}

للعثور على القيمة التي يكون فيها المشتق صفرًا (النقاط الحرجة)، نضع $f'(x)$ يساوي صفرًا ونحل لـ $x$:

\frac{1}{2\sqrt{25 + x}} – \frac{1}{2\sqrt{25 – x}} = 0

بعد حل المعادلة، نحصل على:

\sqrt{25 – x} = \sqrt{25 + x}

بمراقبة الناتج، نجد أن القيمة الوحيدة التي تحقق ذلك هي $x = 0$.

الآن، يبقى لنا فحص نواحي القيمة القصوى. نلاحظ أن التعبير $\sqrt{25 + x} + \sqrt{25 – x}$ هو دائمًا موجب، وبالتالي، القيمة القصوى ستكون عند $x = 0$.

وبالتالي، القيمة القصوى للتعبير هي:

\sqrt{25 + 0} + \sqrt{25 – 0} = \sqrt{25} + \sqrt{25} = 5 + 5 = 10

لذا، القيمة القصوى للتعبير $\sqrt{25 + x} + \sqrt{25 – x}$ عند $-25 \le x \le 25$ هي $10$.

المزيد من المعلومات

معركة أوستيا 409: الفوز الغوطي

مطار أوكلاند كاونتي الدولي: روعة وكفاءة في ميشيغان