حل مسألة القطار والرجل (مسألة رياضيات)

القطار الذي يبلغ طوله 150 مترًا يسير بسرعة 68 كيلومترًا في الساعة. في كم من الوقت سيتجاوز القطار رجلاً يجري بسرعة 8 كيلومترات في الساعة في نفس الاتجاه الذي يسير فيه القطار؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن. السرعة تعرف عادة بالمسافة المقسومة على الزمن. في هذه الحالة، سنستخدم العلاقة التالية:

$السرعة = \frac{المسافة}{الزمن}$

نعرف أن القطار يسير بسرعة 68 كيلومترًا في الساعة. ونحن بحاجة إلى تحويل هذه السرعة إلى وحدة المتر في الثانية للحصول على نتائج أكثر دقة. يمكننا القيام بذلك بضرب السرعة في 1000 (لتحويل الكيلومترات إلى متر) ثم قسمتها على 3600 (لتحويل الساعة إلى الثانية):

$السرعة (بالمتر/الثانية) = \frac{68 \times 1000}{3600}$

الآن يمكننا استخدام هذه السرعة لحساب الزمن اللازم لتجاوز القطار للرجل. يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$الزمن = \frac{المسافة}{السرعة النسبية}$

حيث المسافة النسبية هي الفارق بين سرعة القطار وسرعة الرجل:

$السرعة النسبية = سرعة القطار – سرعة الرجل$

$الزمن = \frac{150}{\left( \frac{68 \times 1000}{3600} – 8 \right)}$

الآن يمكننا حساب هذا الزمن بعد إجراء العمليات الحسابية اللازمة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الحركة والعلاقات بين السرعة، المسافة، والزمن. نستخدم وحدات قياس متسقة، مثل تحويل السرعة إلى متر في الثانية.

المعلومات المعطاة:

• طول القطار $\text{المسافة} = 150$ مترًا.
• سرعة القطار $\text{سرعة} = 68$ كيلومتر/ساعة.
• سرعة الرجل $\text{سرعة الرجل} = 8$ كيلومتر/ساعة.

الخطوات:

1. تحويل وحدات السرعة:
   نحتاج لتحويل سرعة القطار إلى متر في الثانية لتوحيد الوحدات. يمكننا استخدام العلاقة:
   $\text{سرعة (متر/ثانية)} = \frac{\text{سرعة (كيلومتر/ساعة)} \times 1000}{3600}$

   حيث قيمة السرعة الجديدة تُحسب كالتالي:
   $\text{سرعة (متر/ثانية)} = \frac{68 \times 1000}{3600}$

2. حساب السرعة النسبية:
   نحتاج إلى حساب السرعة النسبية بين القطار والرجل، وهي الفارق بين سرعتيهما. يُستخدم النموذج:
   $\text{سرعة النسبية} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الرجل}$

   وباستخدام الأرقام:
   $\text{سرعة النسبية} = \left( \frac{68 \times 1000}{3600} \right) – 8$

3. حساب الزمن:
   يمكننا استخدام العلاقة بين السرعة والزمن لحساب الزمن الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل:
   $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{سرعة النسبية}}$

   وباستخدام الأرقام:
   $\text{الزمن} = \frac{150}{\left( \frac{68 \times 1000}{3600} \right) – 8}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون السرعة:
   $\text{سرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$
2. تحويل وحدات السرعة:
   $\text{سرعة (متر/ثانية)} = \frac{\text{سرعة (كيلومتر/ساعة)} \times 1000}{3600}$
3. قانون السرعة النسبية:
   $\text{سرعة النسبية} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الرجل}$
4. علاقة الزمن والسرعة:
   $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{سرعة}}$

تطبيق هذه القوانين يسمح لنا بحساب الزمن الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل الجاري بسرعة 8 كيلومترات في الساعة.