حل مسألة القطارات: نسبة السرعة (مسألة رياضيات)

مشكلة رياضية:

قطاران، أحدهما من هاورا إلى باتنا والآخر من باتنا إلى هاورا، ينطلقان في الوقت نفسه. بعد لقائهما، يصل كل منهما إلى وجهته بعد 32 ساعة و16 ساعة على التوالي. ما هو نسبة سرعتهما؟

الحل:

لنمثل سرعة القطار القادم من هاورا إلى باتنا بـ $V_1$ وسرعة القطار القادم من باتنا إلى هاورا بـ $V_2$.

المسافة التي يقطعها القطار الأول بعد أن يلتقيا تكون مساوية للمسافة التي يقطعها القطار الثاني بعد أن يلتقيا. لنمثل هذه المسافة بـ $D$.

بما أن الزمن يتناسب طردياً مع المسافة وعكسياً مع السرعة، يكون لدينا:

$\frac{D}{V_1} = 32$

$\frac{D}{V_2} = 16$

يمكننا حساب قيمة $D$ بطرح المعادلة الثانية من الأولى:

$\frac{D}{V_1} – \frac{D}{V_2} = 32 – 16$

$D \left(\frac{1}{V_1} – \frac{1}{V_2}\right) = 16$

$D = \frac{16}{\left(\frac{1}{V_1} – \frac{1}{V_2}\right)}$

الآن، لنجد نسبة سرعة القطارين:

$\text{نسبة السرعة} = \frac{V_1}{V_2}$

نستخدم القاعدة التي تقول إذا كانت $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$، فإنه يمكننا كتابة ذلك على شكل $\frac{A}{C} = \frac{B}{D}$، ونحل للمجهول. في هذه الحالة، تكون:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{D}{D}$

$\frac{V_1}{V_2} = 1$

إذا كانت نسبة السرعة هي 1، فإن سرعة القطارين متساوية.

لحل هذه المسألة، قمنا باستخدام قانون التناسب الطردي والعكسي.

لنراجع الخطوات بتفصيل أكثر:

1. تعريف المتغيرات:
   فرضنا سرعة القطار القادم من هاورا إلى باتنا بـ $V_1$ وسرعة القطار القادم من باتنا إلى هاورا بـ $V_2$.

2. استخدام قانون التناسب الطردي:
   نستخدم قانون التناسب الطردي حينما يكون الزمن متناسبًا طرديًا مع المسافة والعكسي مع السرعة. لذا، نكتب:

   $\frac{D}{V_1} = 32$
   $\frac{D}{V_2} = 16$

   حيث $D$ هي المسافة التي يقطعها القطاران بعد لقائهما.

3. استخدام قانون العكس:
   استخدمنا قانون العكس لحساب قيمة $D$. يمكن كتابة فرق العكس بالشكل التالي:

   $\frac{D}{V_1} – \frac{D}{V_2} = 32 – 16$

   حيث $D$ هي المسافة التي يقطعها القطاران بعد لقائهما.

4. حساب قيمة $D$:
   حل المعادلة للحصول على قيمة $D$ بواسطة جمع المقامات المشتركة والتبسيط، ثم حساب القيمة النهائية.

   $D = \frac{16}{\left(\frac{1}{V_1} – \frac{1}{V_2}\right)}$

5. حساب نسبة السرعة:
   باستخدام قاعدة التناسب الطردي، يمكننا حساب نسبة السرعة ببساطة:

   $\frac{V_1}{V_2} = \frac{D}{D} = 1$

   إذا كانت نسبة السرعة تساوي 1، فإن سرعة القطارين متساوية.

قد تكون القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

• قانون التناسب الطردي: ينطبق عندما تكون كمية متغيرة ما تتناسب مع كمية أخرى بنسبة ثابتة.

• قانون العكس: ينطبق عندما يكون المنتج المتغيرات هو ثابت، أي عندما يكون حاصل ضرب مقلوبين متساويًا.

هذه القوانين تساعد في إيجاد العلاقات بين الكميات المختلفة وحل المسائل الرياضية بشكل فعال.