حل مسألة القطارات: نسبة السرعات

عندما تعبر قطارين يسيران في اتجاهين متعاكسين رجلاً يقف على الرصيف، يستغرقون 27 ثانية و17 ثانية على التوالي ليعبروا الرجل، ويستغرقون 23 ثانية ليتقاطعوا. نريد حساب نسبة سرعتيهم.

لنمثل سرعة القطار الأول بـ V1 وسرعة القطار الثاني بـ V2.

عندما يعبر كل قطار الرجل، يسافر مسافة تكون مساوية لطول القطار. لنقم بتمثيل طول القطار الأول بـ L1 وطول القطار الثاني بـ L2.

للقطار الأول:
الزمن = المسافة / السرعة
27 = L1 / V1

للقطار الثاني:
17 = L2 / V2

عندما يتقاطعان:
23 = (L1 + L2) / (V1 + V2)

لدينا نظام من المعادلات الثلاث يتعلق بسرعتي القطارين وأبعادهما.

الآن لنحل هذا النظام. نقوم بحساب قيم الـ L1 و L2 عن طريق جمع معادلتي الزمن الأولتين:
27 * V1 = L1

17 * V2 = L2

ثم نستخدم معادلة الزمن الثالثة للحساب:
23 = (L1 + L2) / (V1 + V2)

الآن يمكننا حل هذا النظام للحصول على قيم V1 و V2، ومن ثم نقوم بحساب النسبة بينهما:

النسبة = V1 / V2

لنقم بحل المسألة بمزيدٍ من التفصيل، وسنستخدم قوانين الحركة والتوازن.

للبداية، دعونا نستخدم قانون الحركة الخطية، حيث يكون السرعة مساوية للمسافة مقسومة على الزمن. لقطار الأول:

$V_1 = \frac{L_1}{27}$

وبالمثل للقطار الثاني:

$V_2 = \frac{L_2}{17}$

ثم، نستخدم معلومات التقاطع حيث يتقاطعان في 23 ثانية، نعبر عن المسافة الإجمالية لكل القطارين:

$23(V_1 + V_2) = L_1 + L_2$

الآن، نقوم بجمع المعادلتين الأولتين للحصول على قيمة $L_1$ و $L_2$:

$27V_1 + 17V_2 = L_1 + L_2$

ثم، نستخدم معادلة التقاطع:

$23(V_1 + V_2) = 27V_1 + 17V_2$

نحل هذا النظام من المعادلات للحصول على قيم $V_1$ و $V_2$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الحركة الخطية: السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن.
2. قانون التقاطع: المسافة المقطوعة معًا تكون مساوية لجمع المسافتين المقطوعتين بواسطة القطارين.
3. معادلات التقاطع والزمن: تستخدم لحساب قيم المجاهيل (المسافات) والسرعات عند التقاطع.

الحل ينطوي على حل نظام من المعادلات، ويتم ذلك عادةً باستخدام طرق الجمع أو الطرح أو الاستبدال. بعد حساب السرعات $V_1$ و $V_2$، يمكن حساب النسبة بينهما.