حل مسألة القطارات بالرياضيات والفيزياء

قطاران يسافران في نفس الاتجاه بسرعة 50 و40 كم/س على التوالي يمرون ببعضهما البعض بالكامل في دقيقة ونصف. إذا كانت طول القطار الأول 125 مترًا، ما هو طول القطار الثاني؟

لنقم أولاً بتحديد السرعة النسبية للقطارين. الفارق في السرعة بينهما هو 50 – 40 = 10 كم/س. الآن سنقوم بتحويل هذا الفارق في السرعة إلى متر/ثانية لضمان توحيد وحدات القياس.

$10 \, \text{كم/س} = \frac{10 \times 1000}{3600} \, \text{م/ث}$

السرعة النسبية بين القطارين هي $\frac{10 \times 1000}{3600} \, \text{م/ث}$.

الآن، سنستخدم السرعة والزمن لحساب المسافة التي يسافرها القطاران خلال 1.5 دقيقة.

المسافة = السرعة × الزمن

المسافة = $\frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5 \, \text{متر}$

الآن نحتاج إلى إيجاد طول القطار الثاني. المسافة التي قطعها القطاران هي أيضًا مجموع طولي القطارين.

مجموع الأطوال = طول القطار الأول + طول القطار الثاني

نعوض بالقيم المعطاة:

مجموع الأطوال = 125 + طول القطار الثاني

$125 + طول القطار الثاني = \frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5$

الآن نحسب قيمة طول القطار الثاني:

$طول القطار الثاني = \frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5 – 125$

بعد الحسابات، سنحصل على قيمة طول القطار الثاني بالمتر.

نقوم بحل المسألة باستخدام القوانين الفيزيائية المتعلقة بالحركة المستقيمة، وتحديدًا قانون المسافة، حيث المسافة = السرعة × الزمن. كما نستخدم العلاقة بين السرعة والمسافة لحساب الفارق في المسافة بين القطارين.

قانون المسافة:
$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

نقوم أولاً بحساب السرعة النسبية بين القطارين باستخدام الفارق في السرعة:

$\text{السرعة النسبية} = \frac{10 \times 1000}{3600} \, \text{م/ث}$

ثم نستخدم قانون المسافة لحساب المسافة التي يقطعها القطاران خلال 1.5 دقيقة:

$\text{المسافة} = \text{السرعة النسبية} \times \text{الزمن}$

$\text{المسافة} = \frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5 \, \text{متر}$

الآن، نستخدم معلومات الطول لحساب طول القطار الثاني. المسافة التي يقطعها القطاران هي أيضًا مجموع الأطوال:

$\text{مجموع الأطوال} = \text{طول القطار الأول} + \text{طول القطار الثاني}$

نعوض بالقيم المعطاة:

$125 + \text{طول القطار الثاني} = \frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5$

ثم نقوم بحساب قيمة طول القطار الثاني:

$\text{طول القطار الثاني} = \frac{10 \times 1000}{3600} \times 1.5 – 125$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين الحركة المستقيمة وقانون المسافة، حيث تم استخدامها لحساب السرعة، المسافة، وطول القطار الثاني.