حل مسألة القسمة لتمثيل الأعداد (مسألة رياضيات)

بأي أس يمكن تمثيل الرقم 285 في نظام العد الأساسي بحيث يكون له أربعة أرقام، وأن يكون الرقم النهائي منه فردي؟

لنبدأ بحل المسألة:

لنفترض أن القاعدة التي نريد أن نمثل بها الرقم 285 هي $b$، حيث $b$ هو عدد صحيح موجب يمثل القاعدة. الآن، سنحاول تقدير القيمة المناسبة لـ $b$.

في البداية، نحتاج إلى معرفة كيفية تمثيل الرقم 285 في النظام العشري (نظام العد الذي نستخدمه عادةً). الرقم 285 في النظام العشري يكون:

$285 = 2 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 5 \times 10^0$

الآن، سنقوم بتجربة قيم مختلفة لـ $b$ لنرى إذا ما كانت تنتج رقمًا فرديًا في الواحدات:

1. بدلاً من الأساس العشري 10، سنستخدم الأساس $b$.
2. سنقسم 285 على $b$ لنرى ما إذا كان هناك باقٍ.
3. إذا كان باقٍ، فإننا نستمر في التحقق مما إذا كان الباقي فرديًا.

سنقوم بتجربة القيم من 2 وما فوق، لأن أقل قيمة ممكنة للأساس تكون 2.

لنبدأ بتجربة $b = 2$:

$285 \div 2 = 142$، باقٍ 1

الآن سنجرب $b = 3$:

$285 \div 3 = 95$، باقٍ 0

لكن لاحظ أن الرقم 95 ليس فرديًا، لذا لا يناسبنا.

سنجرب $b = 4$:

$285 \div 4 = 71$ باقٍ 1

نرى أن الباقي هو 1، لكن الرقم 71 ليس فرديًا.

سنجرب $b = 5$:

$285 \div 5 = 57$، باقٍ 0

سنجرب $b = 6$:

$285 \div 6 = 47$، باقٍ 3

الباقي هنا 3 وهو فردي، لكن الرقم 47 ليس بأربعة أرقام.

سنجرب $b = 7$:

$285 \div 7 = 40$، باقٍ 5

الباقي هنا 5 وهو فردي، ولدينا أربعة أرقام. إذاً، يمكن تمثيل الرقم 285 في النظام السباعي بشكل فريد كقاعدة، والجواب هو 7.

لحل المسألة وتحديد القاعدة التي يمكن تمثيل الرقم 285 بها بشكل يكون له أربعة أرقام ويكون الرقم النهائي فرديًا، نحتاج إلى مفهوم القسمة في الجبر وقوانينها.

القانون الرئيسي الذي نستخدمه هو قانون القسمة، حيث ينص على أن عند قسمة عدد على عدد آخر، يحصل لدينا باقٍ ومجموعة من القواعد تنطبق على هذا الباقي. الهدف هو العثور على القاعدة التي تجعل الرقم النهائي فرديًا ويكون له أربعة أرقام.

في الحل، نبدأ بتجريب القواعد (أو القوى) المختلفة للقسمة للعدد 285 ونلاحظ الباقي ونحدد ما إذا كان فرديًا أم لا.

بدأنا بالقاعدة 2 وتجريب القسمة 285 ÷ 2. وواصلنا بتجريب الأعداد الأكبر من ذلك حتى نجد القاعدة التي تعطي لنا الباقي فرديًا وتجعل الرقم النهائي للعدد الممثل فرديًا ويحتوي على أربعة أرقام.

أما بالنسبة للقوانين المستخدمة، فهي:

1. قانون القسمة: ينص على أنه عند قسمة عدد على عدد آخر، يحصل لنا باقٍ.
2. تجريب الأسس (القوى): نبدأ بتجريب الأسس المختلفة للعدد، مثل 2، 3، 4، وهكذا، لنرى إذا ما كان الباقي فرديًا.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من تحديد القاعدة التي يمكن تمثيل الرقم 285 بها بحيث يكون الرقم النهائي فرديًا ويتكون من أربعة أرقام، ووجدنا أن القاعدة هي 7.

هذا النهج يعتمد على الفهم الجيد لقوانين الجبر والقسمة والقوى، ويسمح لنا بحل المسألة بطريقة دقيقة وفعالة.