حل مسألة العمل والزمن: تحديد فترة العمل الفردية (مسألة رياضيات)

تفضلوا بالمسألة المعاد صياغتها:
إذا استطاعت (أ) و (ب) القيام بعمل معًا في 6 أيام، وإذا استطاع (أ) فقط إنجاز نفس العمل في 10 أيام، كم يحتاج (ب) من الوقت لإكمال العمل لو كان يعمل بمفرده؟

الحل:
لنفرض أن العمل يتطلب وحدة عمل (1)، لذا يمكننا أن نفرض أن (أ) في يوم واحد ينجز 1/10 من العمل. من جهة أخرى، إذا كانوا ينجزون العمل معًا في 6 أيام، فإنهم ينجزون 1/6 من العمل في يوم واحد.

لنحسب إسهام (ب) في العمل، نطرح إسهام (أ) الفردي من الإجمالي:
1/6 (العمل الكلي) – 1/10 (عمل (أ) فقط) = 5/30 – 3/30 = 2/30

إذاً، (ب) يقوم بـ 2/30 من العمل في يوم واحد. الآن، لنحسب كم يوم يحتاج (ب) لإكمال العمل بمفرده:
1 / (2/30) = 30 / 2 = 15

إذاً، (ب) يحتاج إلى 15 يومًا لإكمال العمل بمفرده.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام قوانين العمل والزمن. لنتابع:

القانون الأساسي المستخدم:
$\text{العمل} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

لنمثل العمل الكلي بـ $W$، سرعة (أ) بـ $R_a$، سرعة (ب) بـ $R_b$، والزمن بـ $T$.

القانون الأول:
$R_a + R_b = \frac{1}{T}$
حيث $R_a$ و $R_b$ هما سرعتا (أ) و (ب) على التوالي.

القانون الثاني:
$R_a = \frac{1}{10}$
حيث يُمثل هذا القانون سرعة (أ) وقتها للقيام بالعمل لوحدها.

القانون الثالث:
$R_a + R_b = \frac{1}{6}$
حيث يُمثل هذا القانون سرعة العمل الكلية عند العمل معًا.

الآن سنقوم بحل المعادلات:
من القانون الثاني:
$R_a = \frac{1}{10}$

ثم، نستخدم القانون الأول لحساب $R_b$:
$\frac{1}{10} + R_b = \frac{1}{6}$
$R_b = \frac{1}{6} – \frac{1}{10} = \frac{2}{30}$

الآن نستخدم القانون الأساسي لحساب الزمن الذي يحتاجه (ب) لإكمال العمل بمفرده:
$T_b = \frac{1}{R_b} = \frac{1}{\frac{2}{30}} = 15$

إذاً، يحتاج (ب) لـ 15 يومًا لإكمال العمل بمفرده.

تمثل هذه الحلقات الرياضية استخدام قوانين العمل والزمن في حل المشكلة والتوصل إلى الإجابة بطريقة دقيقة.