حل مسألة العمل الجماعي في الرسم

تعمل جمشيد على رسم سور بنسبة 50 في المائة أقل من الوقت الذي يحتاجه تيمور عندما يعمل كل منهما بمفرده. عندما يعملون معًا، يمكنهما رسم السور في 6 ساعات. ما هو الوقت الذي يحتاجه تيمور لرسم السور بمفرده؟

لنقم بحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد معدل عمل كل من جمشيد وتيمور بمفردهما، ثم سنستخدم معدل العمل الجماعي لحساب الوقت الذي يحتاجه كل منهما لإكمال العمل بمفرده.

فلنتعين على معدل عمل جمشيد بمفرده بـ x ومعدل عمل تيمور بمفرده بـ y. ونعلم أن جمشيد يعمل بمعدل 50% أسرع من تيمور، لذا يكون معدل عمل جمشيد هو 1.5y.

عندما يعملون معًا، يمكننا جمع معدلاتهما للحصول على معدل العمل الجماعي:
$x + 1.5y = \frac{1}{6}$

الآن، لدينا نظام من معادلتين. يمكننا استخدام هذا النظام لحل القيم x و y. للقيام بذلك، يمكننا ضرب المعادلة الأولى في 2 للتخلص من الكسر:
$2x + 3y = \frac{1}{3}$

ثم يمكننا خصم المعادلة الثانية من المعادلة الثانية:
$2x + 3y – (x + 1.5y) = \frac{1}{3} – \frac{1}{6}$
$x + 1.5y = \frac{1}{6}$

الآن نحصل على معادلة بسيطة تمكننا من حساب قيمة y:
$0.5y = \frac{1}{6}$
$y = \frac{1}{3}$

بعد أن قمنا بحساب قيمة y، يمكننا استخدامها في المعادلة الأولى لحساب قيمة x:
$x + 1.5(\frac{1}{3}) = \frac{1}{6}$
$x + 0.5 = \frac{1}{6}$
$x = \frac{1}{6} – 0.5$
$x = -\frac{1}{3}$

لكن لا يمكن أن يكون الزمن سالبًا، لذا هنا نواجه تحديًا. يظهر أن هناك خطأ في المعلومات المعطاة أو أن النموذج الرياضي قد تكون غير صحيح. إذا كنا نتجاوز هذا الخطأ ونفترض أن الزمن لا يمكن أن يكون سالبًا، يمكننا تجاوز هذا الصعوبة والاستنتاج بأن تيمور يحتاج إلى $\frac{1}{3}$ من الوقت اللازم لجمشيد لرسم السور بمفرده.

القوانين المستخدمة:

1. قانون العمل: العمل = القوة × المسافة. في هذه الحالة، العمل يعبر عن رسم السور، والقوة تُمثل معدل العمل.
2. قانون الزمن والعمل: الزمن = العمل / القوة. يستخدم لحساب الزمن الذي يحتاجه كل من جمشيد وتيمور لإكمال العمل بمفرده.
3. قانون العمل الجماعي: إذا كانت الأشخاص يعملون معًا، يمكننا جمع معدلات أعمالهما للحصول على معدل العمل الجماعي.