حل مسألة: الضرب الناتج عن الفيكتورات (مسألة رياضيات)

نعطي الأفضلية لقوة المبرر في الحسابات الرياضية لتوضيح الإجابة على هذه المسألة.

نعلم أن لدينا الفيكتورات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ بمقدارين $|\mathbf{a}| = 2$ و $|\mathbf{b}| = 5$ على التوالي، وأن مقدار حاصل الضرب الناتج عن الضرب العمودي بينهما هو $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 8$.

لنقم أولاً بحساب حاصل الضرب الناتج عن الضرب العمودي بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. يعطى ذلك بواسطة الصيغة:

حيث أن $\theta$ هو زاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. يمكننا حساب قيمة $\sin(\theta)$ من هذه الصيغة:

الآن، لحساب حاصل الضرب الناتج عن الضرب الداخلي بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$، نستخدم الصيغة:

حيث أن $\cos(\theta)$ هو الجيب الكوسايني للزاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. يمكننا حساب قيمة $\cos(\theta)$ باستخدام العلاقة:

الآن، نستخدم هذه القيمة في الصيغة لحساب حاصل الضرب الناتج عن الضرب الداخلي:

إذاً، مقدار حاصل الضرب الناتج عن الضرب الداخلي بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هو 6.

بالتأكيد، دعونا نقم بتوضيح أكثر حول الحل والقوانين المستخدمة. نستخدم في هذه المسألة قوانين الرياضيات والجبر الخطي، بالإضافة إلى بعض قوانين الهندسة الفضائية.

لنستعرض الخطوات التفصيلية:

1. حساب حاصل الضرب الناتج عن الضرب العمودي:

   يأتي هذا من قانون الضرب العمودي بين اثنين من الفيكتورات:

   $$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\| \cdot \sin(\theta)$$

   حيث أن $\theta$ هي الزاوية بين الفيكتورات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

   قمنا بحساب $\sin(\theta)$ باستخدام المعلومات المعطاة:

   $$\sin(\theta) = \frac{\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} = \frac{8}{2 \cdot 5} = \frac{4}{5}$$

2. حساب حاصل الضرب الناتج عن الضرب الداخلي:

   يأتي هذا من قانون الضرب الداخلي بين الفيكتورات:

   $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta)$$

   حيث أن $\cos(\theta)$ هو الجيب الكوسايني للزاوية بين الفيكتورات. قمنا بحساب قيمة $\cos(\theta)$:

   $$\cos(\theta) = \sqrt{1 – \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 – \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$$

   ثم قمنا بحساب حاصل الضرب الداخلي:

   $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 6$$

   وهكذا نحصل على الإجابة النهائية.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر الخطي والهندسة الفضائية بشكل متقن لحساب المقدار المطلوب. الرياضيات الخطية والهندسة الفضائية تقدم مجموعة من الأدوات الفعالة لفهم وحل مثل هذه المسائل.