حل مسألة السرعات المتغيرة بالرياضيات (مسألة رياضيات)

القطار يسافر الـ d ميل الأولى من رحلته بسرعة متوسطة قدرها 40 ميلا في الساعة ، ثم يسافر الـ d ميل التالية بسرعة متوسطة قدرها y ميلا في الساعة ، وأخيرًا يسافر الـ d ميل الأخيرة من رحلته بسرعة متوسطة قدرها 160 ميلا في الساعة. إذا كانت السرعة المتوسطة للقطار على مدى المسافة الكلية تبلغ 96 ميلا في الساعة ، فما هو قيمة سرعة y؟

للحل:

نستخدم المعادلة التالية لحساب المتوسط ​​الزمني للرحلة:

$\text{متوسط السرعة} = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}}$

نعلم أن المسافة الكلية تساوي 3d (d + d + d) وأن المتوسط ​​السرعة هو 96 ميلا في الساعة. لذا:

$96 = \frac{3d}{\text{الزمن الكلي}}$

نحتاج إلى حساب الزمن الكلي الذي استغرقه القطار على مدى الرحلة. لفعل ذلك ، نستخدم المعادلة التالية:

$\text{الزمن الكلي} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة المتوسطة}}$

للجزء الأول من الرحلة (الـ d ميل الأولى):

$\text{الزمن الأول} = \frac{d}{40}$

للجزء الثاني من الرحلة (الـ d ميل التالية):

$\text{الزمن الثاني} = \frac{d}{y}$

للجزء الثالث من الرحلة (الـ d ميل الأخيرة):

$\text{الزمن الثالث} = \frac{d}{160}$

الزمن الكلي يكون مجموع هذه الأوقات:

$\text{الزمن الكلي} = \text{الزمن الأول} + \text{الزمن الثاني} + \text{الزمن الثالث}$

نستخدم المعادلة الأولى لحساب الزمن الكلي ثم نعوض في المعادلة الثانية:

$96 = \frac{3d}{\text{الزمن الكلي}}$

$\text{الزمن الكلي} = \frac{3d}{96}$

الآن نعوض هذا الزمن في المعادلة الثانية:

$96 = \frac{d}{40} + \frac{d}{y} + \frac{d}{160}$

نضرب كل جزء في المعادلة بالمقام المشترك 160y لتجنب الكسور:

$96 \times 160y = 160y \times \frac{d}{40} + 160y \times \frac{d}{y} + 160y \times \frac{d}{160}$

$15360y = 4d + 160d + d$

$15360y = 165d$

$y = \frac{165d}{15360}$

وهذا هو الحل لقيمة $y$.

لحل هذه المسألة، سنقوم باستخدام قانون المسافة والسرعة والزمن، وكذلك قانون المتوسط السرعة.

قانون المسافة والسرعة والزمن:
$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

قانون المتوسط السرعة:
$\text{المتوسط السرعة} = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}}$

نعود إلى المسألة:

للجزء الأول من الرحلة (الـ d ميل الأولى)، نستخدم قانون المسافة والسرعة والزمن:

$d = 40 \times \text{الزمن الأول}$

$\text{الزمن الأول} = \frac{d}{40}$

للجزء الثاني من الرحلة (الـ d ميل التالية)، نستخدم نفس القانون:

$d = y \times \text{الزمن الثاني}$

$\text{الزمن الثاني} = \frac{d}{y}$

وأخيرًا، للجزء الثالث من الرحلة (الـ d ميل الأخيرة):

$d = 160 \times \text{الزمن الثالث}$

$\text{الزمن الثالث} = \frac{d}{160}$

الزمن الكلي يكون مجموع هذه الأوقات:

$\text{الزمن الكلي} = \text{الزمن الأول} + \text{الزمن الثاني} + \text{الزمن الثالث}$

$\text{الزمن الكلي} = \frac{d}{40} + \frac{d}{y} + \frac{d}{160}$

المعادلة النهائية تكون كالتالي:

$96 = \frac{3d}{\text{الزمن الكلي}}$

$\text{الزمن الكلي} = \frac{3d}{96}$

ثم نستخدم هذا الزمن في المعادلة الثانية للحصول على قيمة $y$:

$96 = \frac{d}{40} + \frac{d}{y} + \frac{d}{160}$

ونقوم بالحسابات للوصول إلى الحل النهائي:

$96 \times 160y = 160y \times \frac{d}{40} + 160y \times \frac{d}{y} + 160y \times \frac{d}{160}$

$15360y = 4d + 160d + d$

$15360y = 165d$

$y = \frac{165d}{15360}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون المسافة والسرعة والزمن.
2. قانون المتوسط السرعة.
3. جمع وتلاحم المعادلات للحصول على حلا نهائياً.

يتمثل الحل في استخدام هذه القوانين بشكل دقيق للتعبير عن العلاقات بين المتغيرات المختلفة في المسألة وحساب القيم المطلوبة بناءً على هذه العلاقات.