حل مسألة السباق الرياضي بالفيزياء (مسألة رياضيات)

سام يفوز على جون في سباق الـ 100 متر بفارق 5 ثوانٍ. بالعكس، إذا سمح سام لجون بالبدء 15 مترًا قبله، فإن سام وجون يصلان إلى خط النهاية في نفس الوقت. ما هو الوقت الذي يحتاجه سام لتأدية سباق الـ 100 متر؟

لنقم بتعريف بعض المتغيرات:
فلنفترض أن سرعة سام هي S متر في الثانية، وسرعة جون هي J متر في الثانية.

إذاً، في سباق الـ 100 متر، يكون زمن سام هو 100/S ثانية وزمن جون هو 100/J ثانية.

لكننا نعلم أن سام يفوز على جون بـ 5 ثوانٍ، لذا يمكننا كتابة المعادلة:
$\frac{100}{S} = \frac{100}{J} – 5$

المعادلة الثانية تأتي من حقيقة أنه إذا بدأ جون 15 مترًا قبل سام، فإن الزمن الذي يأخذه الاثنان للوصول إلى النهاية يكون متساويًا:
$\frac{85}{S} = \frac{100}{J}$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات لحل:
$\frac{100}{S} = \frac{100}{J} – 5$
$\frac{85}{S} = \frac{100}{J}$

بإجراء بعض العمليات الجبرية، يمكننا حساب قيم S و J. بعد ذلك، يمكننا استخدام أي من المعادلتين لحساب الوقت الذي يحتاجه سام لتأدية السباق (100/S).

سنقوم بحل المسألة باستخدام المفاهيم الفيزيائية وقوانين الحركة، وخاصة القانون الذي يربط بين المسافة، الزمن، والسرعة.

لنقم بتعريف بعض المتغيرات:
$S$: سرعة سام في متر/ثانية
$J$: سرعة جون في متر/ثانية

نعلم أن المسافة المقطوعة في كلا الحالتين هي 100 متر، لذا يمكننا استخدام القانون التالي:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

في حالة الفوز:
$100 = S \times \left(\frac{100}{S} + 5\right)$

في حالة الانتهاء في نفس الوقت:
$100 = J \times \left(\frac{85}{S}\right)$

الآن، دعونا نقوم بحل هذا النظام من المعادلات. بالتلاعب في المعادلات، يمكننا حساب قيم $S$ و$J$. لنفرض $x = \frac{1}{S}$ و $y = \frac{1}{J}$ لتبسيط الحسابات.

المعادلات بعد التبسيط:

$100 = \frac{1}{x} \times \left(\frac{100}{x} + 5\right)$
$100 = \frac{1}{y} \times \left(\frac{85}{x}\right)$

الحل:

$x = \frac{1}{S} \approx 0.02 \, \text{ثانية/متر}$
$y = \frac{1}{J} \approx 0.02 \, \text{ثانية/متر}$

الآن، يمكننا استخدام أي من المعادلتين لحساب الوقت الذي يحتاجه سام لتأدية السباق:

$\text{الوقت} = \frac{100}{S} \approx 5000 \, \text{ثانية}$

قوانين الحركة المستخدمة هي قوانين السرعة والزمن والمسافة، وتم استخدام المعادلات الفيزيائية لحل نظام من المعادلات للوصول إلى القيم المطلوبة.