حل مسألة الزوايا المتعامدة باستخدام cis (مسألة رياضيات)

نعتبر التعبير التالي:
$\text{cis } 75^\circ + \text{cis } 83^\circ + \text{cis } 91^\circ + \dots + \text{cis } 147^\circ$

لحساب هذا التعبير، نستخدم الخاصية الرئيسية للدوال الجبرية المعروفة باسم “الزوايا المتعامدة”. حيث يمكننا جمع الدوال الجبرية التي تمثل زوايا مختلفة عند جمعها بزاويا متجاورة.

لفهم هذا بشكل أفضل، نستخدم تمثيل الزوايا باستخدام الدوال الجبرية. الدالة cis تُمثل الزوايا في شكل طولي معقد، حيث يكون الجزء الحقيقي للعدد هو الجزء الذي يمثل الكوساين للزاوية، والجزء الخيالي يمثل السينا للزاوية.

التعبير المعطى يمثل مجموع عدة زوايا، ولنقم بجمعها باستخدام الخاصية المذكورة:

$\text{cis } 75^\circ + \text{cis } 83^\circ + \text{cis } 91^\circ + \dots + \text{cis } 147^\circ$

نجمع الزاويا بزاويا متجاورة:
$(\text{cis } 75^\circ + \text{cis } 83^\circ) + (\text{cis } 91^\circ + \dots + \text{cis } 147^\circ)$

الآن نستخدم الخاصية المذكورة، حيث أن جمع زاويا متجاورة يمكن تمثيله بزاوايا متعامدة. لدينا:

$= \text{cis } (75^\circ + 83^\circ) + \text{cis } (91^\circ + 99^\circ) + \dots + \text{cis } (141^\circ + 147^\circ)$

نستمر في هذا النمط حتى نصل إلى زاوية واحدة:
$= \text{cis } 1584^\circ$

الآن، نقوم بتمثيل هذا الرقم بشكل الزوايا المعتاد وهو الجزء الحقيقي والجزء الخيالي. يمكننا حساب المسافة (المقدار) باستخدام الجذر التربيعي لجمع مربعي الجزءين الحقيقي والخيالي. الزاوية الناتجة يمكن تحديدها باستخدام الظاهرة العكسية للتمام.

الآن، لحساب $\theta$، نقوم بقسمة الزاوية الناتجة على 360 ونأخذ الباقي. في هذه الحالة:

$\theta = 1584^\circ \mod 360^\circ = 144^\circ$

إذاً، القيمة المطلوبة للزاوية هي 144 درجة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خصائص المتغيرات الزاوية (الزوايا المتجاورة والزوايا المتعامدة) والتعبيرات المعقدة (الدوال الجبرية مثل الـcis). سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل.

المعطيات:
$\text{cis } 75^\circ + \text{cis } 83^\circ + \text{cis } 91^\circ + \dots + \text{cis } 147^\circ$

نستخدم الخاصية التي تقول إن جمع زوايا متجاورة يمكن تمثيله بزاويا متعامدة، وهذا يعني أننا نستطيع جمع الزاويا بمجموعات تحتوي على زوايا متجاورة، ومن ثم جمع هذه المجموعات مع بعضها البعض.

الخطوات:

1. نجمع الزوايا بمجموعات متجاورة:
   $(\text{cis } 75^\circ + \text{cis } 83^\circ) + (\text{cis } 91^\circ + \dots + \text{cis } 147^\circ)$

2. نستخدم الخاصية التي تقول إن جمع زوايا متجاورة يمكن تمثيله بزوايا متعامدة:
   $= \text{cis } (75^\circ + 83^\circ) + \text{cis } (91^\circ + 99^\circ) + \dots + \text{cis } (141^\circ + 147^\circ)$

3. نستمر في هذا النمط حتى نصل إلى زاوية واحدة:
   $= \text{cis } 1584^\circ$

4. نستخدم تمثيل الـcis للزاوية:
   $\text{cis } 1584^\circ = \cos(1584^\circ) + i \sin(1584^\circ)$

5. نحسب المقدار (المسافة) باستخدام الجذر التربيعي لجمع مربعي الجزءين الحقيقي والخيالي.

6. نحسب الزاوية باستخدام الظاهرة العكسية للتمام.

7. أخيرًا، نقوم بحساب الباقي عند قسمة الزاوية على 360 للحصول على القيمة في النطاق المطلوب.

القوانين المستخدمة:

• جمع الزوايا المتجاورة.
• استخدام الزوايا المتعامدة.
• تمثيل الزوايا باستخدام الـcis.
• حساب المقدار (المسافة) باستخدام الجذر التربيعي لجمع مربعي الجزءين الحقيقي والخيالي.
• حساب الزاوية باستخدام الظاهرة العكسية للتمام.
• حساب الباقي عند قسمة الزاوية على 360.