حل مسألة الرياضيات: العملات في المحفظة (مسألة رياضيات)

متوسط قيمة جميع القروش والدراهم والدايمات والربعات في محفظة بولا هو 20 سنتاً. إذا كان لديها ربع إضافي، فإن المتوسط يصبح 21 سنتاً. كم عدد الدايمات التي تمتلكها في محفظتها؟

لنقم بتعريف المتغيرات:

• د: عدد الدايمات
• ق: عدد القروش
• ن: عدد النيكلز
• ر: عدد الربعات

نحن نعلم أن قيمة العملات متساوية لعدد معين من كل نوع. سنستخدم هذه المعلومة لحل المسألة.

أولاً، لنكتب المعادلات استناداً إلى الشروط المعطاة:

1. المتوسط الحالي: (10د + 5ن + 25ر + 1ر) / (د + ن + ر + 1) = 20
2. المتوسط بعد إضافة الربع الإضافي: (10د + 5ن + 25ر + 1ر + 25) / (د + ن + ر + 2) = 21

الآن سنقوم بحل هذه المعادلات:

1. 10د + 5ن + 25ر + 1ر = 20د + 20ن + 20ر + 20
2. 10د + 5ن + 25ر + 1ر + 25 = 21د + 21ن + 21ر + 42

بما أننا نريد حساب قيمة “د”، سنبدأ بتبسيط المعادلة الأولى:

• 10د – 20د = 20ن + 20ر + 20 – 5ن – 25ر – 1ر
• -10د = 15ن – 5ر + 20

الآن سنقوم بتبسيط المعادلة الثانية:

• 10د – 21د = 21ن + 21ر + 42 – 5ن – 25ر – 1ر – 25
• -11د = 16ن – 4ر + 17

الآن لدينا نظام معادلات غير متوازن. سنقوم بتوحيد المعادلتين:

• -10د = 15ن – 5ر + 20
• -11د = 16ن – 4ر + 17

للتخلص من الضربة المزدوجة في “د”، سنقوم بضرب المعادلة الأولى بـ 11 والثانية بـ 10:

• -110د = 165ن – 55ر + 220
• -110د = 160ن – 40ر + 170

الآن سنقوم بطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

• 165ن – 55ر + 220 – (160ن – 40ر + 170) = 0
• 165ن – 55ر + 220 – 160ن + 40ر – 170 = 0
• 5ن – 15ر + 50 = 0
• 5ن – 15ر = -50

الآن سنبسط هذه المعادلة للحصول على علاقة بين “ن” و “ر”:

• 5(ن – 3ر) = -50
• ن – 3ر = -10

الآن سنقوم بتعويض قيمة “ر” من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى:

• -11د = 16ن – 4(-10) + 17
• -11د = 16ن + 40 + 17
• -11د = 16ن + 57

الآن سنقوم بحل المعادلة الجديدة للحصول على قيمة “د”:

• 11د = -16ن – 57
• د = (-16ن – 57) / 11

لكن لاحظ أننا بحاجة إلى قيمة صحيحة لـ “د”. لذا سنقوم بتجريب القيم الممكنة لـ “ن” حتى نحصل على قيمة صحيحة لـ “د”، ثم نحسب قيمة “ر” عند ذلك.

إذا كان ن = 3، فإن:

• د = (-16 * 3 – 57) / 11 = (-48 – 57) / 11 = -105 / 11 (غير مقبولة)

إذا كان ن = 4، فإن:

• د = (-16 * 4 – 57) / 11 = (-64 – 57) / 11 = -121 / 11 (غير مقبولة)

إذا كان ن = 5، فإن:

• د = (-16 * 5 – 57) / 11 = (-80 – 57) / 11 = -137 / 11 (غير مقبولة)

إذا كان ن = 6، فإن:

• د = (-16 * 6 – 57) / 11 = (-96 – 57) / 11 = -153 / 11 (غير مقبولة)

إذا كان ن = 7، فإن:

• د = (-16 * 7 – 57) / 11 = (-112 – 57) / 11 = -169 / 11 (مقبولة)

بالتالي، عندما تكون قيمة “ن

لحل المسألة المعروضة، سنحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين في الجبر والرياضيات.

1. تعريف المتغيرات:
   نحن نعرف المتغيرات ونعبر عنها بأحرف مثل “د” للدايمات، “ق” للقروش، “ن” للنيكلز، و”ر” للربعات.

2. المتوسط الحسابي:
   المتوسط الحسابي يعبر عن القيمة المتوسطة لمجموعة من الأرقام. يتم حساب المتوسط عن طريق جمع قيم جميع العناصر وتقسيم الناتج على عددها. في هذه المسألة، يُعطى لنا المتوسط الحالي والمتوسط بعد إضافة عملة إضافية.

3. المعادلات الخطية:
   نستخدم المعادلات الخطية لحل مسائل الرياضيات التي تشمل متغيرات متعددة وعلاقات خطية بينها. في هذه المسألة، نقوم بتكوين معادلات تمثل الشروط المعطاة ونحلها للوصول إلى قيم المتغيرات.

4. التبسيط الجبري:
   يتم استخدام التبسيط الجبري لتبسيط المعادلات وتبادل القيم بينها بحيث يمكن حلها بسهولة. في هذه المسألة، نقوم بالتبسيط للمعادلات لتسهيل الحسابات.

5. استنتاج الحلول المقبولة:
   نستخدم الرياضيات لاستنتاج الحلول المقبولة والتي تتوافق مع شروط المسألة والقوانين الرياضية.

الآن، بعد أن عُرفت القوانين والمفاهيم المستخدمة، سنقوم بحل المسألة باستخدام المعلومات والعلاقات المذكورة في السؤال بطريقة متسلسلة ومفصلة للوصول إلى الحل النهائي. سأقوم بتقديم ذلك الآن.

لنبدأ بتكوين المعادلات استنادًا إلى المعطيات المعطاة في المسألة:

نعلم أن المتوسط الحالي للعملات في محفظة بولا هو 20 سنتاً. إذا كان لدينا عدد “د” من الدايمات، “ن” من النيكلز، “ق” من القروش، و”ر” من الربعات، يمكننا كتابة المعادلة الأولى للمتوسط الحالي كالتالي:

$\frac{{10د + 5ن + 25ر + 25ق}}{{د + ن + ر + ق}} = 20$

المعادلة الثانية تشير إلى أن إضافة ربع إضافي سيجعل المتوسط يصبح 21 سنتًا، لذا يمكن كتابة المعادلة الثانية كالتالي:

$\frac{{10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25}}{{د + ن + ر + ق + 1}} = 21$

الآن سنقوم بحل هذا النظام من المعادلات. لنبدأ بتبسيط المعادلات:

$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20(د + ن + ر + ق)$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20د + 20ن + 20ر + 20ق$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20د + 20ن + 20ر + 20ق$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20د + 20ن + 20ر + 20ق$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20د + 20ن + 20ر + 20ق$

$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 21(د + ن + ر + ق)$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 21د + 21ن + 21ر + 21ق$

الآن، لدينا نظام مكون من معادلتين. سنقوم بتبسيطهما وحلهما للعثور على قيم المتغيرات.

أولاً، سنبسط المعادلة الأولى:
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 = 20د + 20ن + 20ر + 20ق$
$10د + 5ن + 25ر + 25ق + 25 – 20د – 20ن – 20ر – 20ق = 0$
$10د – 20د + 5ن – 20ن + 25ر – 20ر + 25ق – 20ق + 25 = 0$
$-10د – 15ن + 5ر + 5ق + 25 = 0$
$-10د – 15ن + 5ر + 5ق = -25$
$-2د – 3ن + r + q = -5$