حل مسألة الرومبوس: الأبعاد والمساحة (مسألة رياضيات)

في رومبوس بمساحة 108 وحدة مربعة، نسبة أطوال قطريه هو 3 إلى 2. ما هو طول القطر الأطول بالوحدات؟

لنقم بتعريف بعض المتغيرات:
من المعروف أن مساحة الرومبوس تُحسب بالقانون: $\text{Area} = \frac{{d_1 \times d_2}}{2}$
حيث $d_1$ و $d_2$ هما طول القطرين.

نعلم أن النسبة بين أطوال القطرين هي 3 إلى 2. فإذا كان طول القطر الأطول 3x والقصير 2x.

بما أن المساحة تساوي 108 وحدة مربعة، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$108 = \frac{{3x \times 2x}}{2}$

لنقم بحساب قيمة $x$:
$108 = \frac{{6x^2}}{2}$
$108 = 3x^2$
$x^2 = \frac{{108}}{3}$
$x^2 = 36$
$x = \sqrt{36}$
$x = 6$

الآن، بمعرفة قيمة $x$ يمكننا حساب أطوال القطرين:
القطر الطويل: $3x = 3 \times 6 = 18$ وحدة
القطر القصير: $2x = 2 \times 6 = 12$ وحدة

إذاً، القطر الأطول للرومبوس يساوي 18 وحدة.

لحل مسألة الرومبوس، نحتاج إلى استخدام مفاهيم هندسية وقوانين الهندسة الأساسية. القوانين المستخدمة تتضمن قانون حساب مساحة الرومبوس والعلاقة بين مساحة الرومبوس وأطوال قطريه.

1. قانون حساب مساحة الرومبوس:
   مساحة الرومبوس تُحسب باستخدام القانون:
   $\text{Area} = \frac{{d_1 \times d_2}}{2}$
   حيث $d_1$ و $d_2$ هما طول القطرين.

2. العلاقة بين مساحة الرومبوس وأطوال قطريه:
   مساحة الرومبوس تكون متناسبة مع حاصل ضرب طولي القطرين ويمكن كتابتها بالعلاقة التالية:
   $\text{Area} = \frac{{d_1 \times d_2}}{2}$

الآن، نأخذ البيانات المعطاة في المسألة ونبدأ الحل:

1. المساحة المعطاة للرومبوس هي 108 وحدة مربعة.

2. النسبة بين أطوال القطرين هي 3 إلى 2، مما يعني أننا يمكننا تمثيل الطول الطويل للقطر بـ 3x والقصير بـ 2x، حيث $x$ هو عامل النسبة.

باستخدام القانون الثاني المذكور أعلاه، نقوم بوضع المعطيات في معادلة:

$108 = \frac{{3x \times 2x}}{2}$

3. بعد حساب المعادلة، نجد قيمة $x$ وهي 6.

4. نحسب طول القطرين:
   القطر الطويل: $3x = 3 \times 6 = 18$ وحدة
   القطر القصير: $2x = 2 \times 6 = 12$ وحدة

وبالتالي، يُعتبر القطر الطويل للرومبوس هو 18 وحدة.

هذا الحل يعتمد على استخدام القوانين الهندسية الأساسية المتعلقة بالمساحة والأطوال القطرية في الأشكال الهندسية.