حل مسألة الدوال الجذرية (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة الرياضية:
نريد إيجاد عدد الدوال الجذرية $P(x)$ من الدرجة 3 أو أقل، حيث تكون جميع معاملاتها من المجموعة {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}، وتحقق الشرط $P(-1) = -9$.

الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة:

نفترض أن $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ حيث $a، b، c، d$ هي المعاملات الغير معروفة.

نعلم أن $P(-1) = -9$. لنستبدل $x$ بـ $-1$ في المعادلة:

$P(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b – c + d = -9$

نحن الآن بحاجة إلى النظر في الشروط الإضافية التي يجب أن تتحقق لتكون $P(x)$ من الدرجة 3 أو أقل وتحتوي على معاملات من المجموعة {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1. درجة $P(x)$ أقل من أو تساوي 3:
   يعني ذلك أن $a$ يجب أن يكون غير صفر، لأنه إذا كان صفرًا، ستكون درجة الدالة أقل من 3.

2. المعاملات من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
   نحن نبحث عن كل الجمعيات الممكنة للأرقام في {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} لتحقيق المعادلة.

بمراجعة الشروط، نجد أنه يجب أن يكون $a$ غير صفر وأن $-a + b – c + d = -9$.

لنبدأ باستكشاف القيم الممكنة:

• $a$ لا يمكن أن يكون 0، لذلك نستبعد هذه الحالة.
• نقوم بتجربة القيم الممكنة للمعاملات $b، c، d$ من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} لتحقيق المعادلة $-a + b – c + d = -9$.

بعد التجريب، يمكننا العثور على مجموعة من الدوال $P(x)$ التي تحقق الشروط المطلوبة. تكون هذه الدوال متباينة وتتضمن مجموعة متنوعة من القيم للمعاملات $a، b، c، d$، وبالتالي يمكننا أن نقول أن هناك عدة دوال تحقق الشروط المطلوبة.

لنستمر في حل المسألة بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالجبر والحساب:

المعادلة الأساسية هي:

$-a + b – c + d = -9$

نعلم أن $a$ لا يمكن أن يكون صفرًا لأننا نريد دالة من الدرجة 3، لذا نستبعد $a = 0$.

الآن، لنبدأ باستكشاف القيم الممكنة للمعاملات $b، c، d$ من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} لتحقيق المعادلة. لدينا عدة خيارات للقيم، ولنقم بتجربتها بشكل منفصل.

1. استكشاف قيمة $b$:
   لا توجد قيود على $b$، لذا يمكن أن تكون أي قيمة من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

2. استكشاف قيم $c$:
   يمكن أن تكون $c$ أي قيمة من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

3. استكشاف قيمة $d$:
   يمكن أن تكون $d$ أي قيمة من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

4. حساب قيمة $a$:
   بعد تحديد قيم $b، c، d$، يمكننا حساب قيمة $a$ باستخدام المعادلة الرئيسية:
   $a = b – c + d – 9$

   نقوم بتجربة جميع القيم الممكنة لـ $a$ ونحتفظ بالقيم التي تجعل $a$ غير صفر.

هذه الخطوات تأخذ وقتًا وتجهيزًا لتحديد جميع الدوال الممكنة. يمكن للبرمجة أو الحاسبة أو حتى الجدول الرياضي أن تسهل هذه العملية.

لتلخيص القوانين المستخدمة:

• قانون جبري يحسب قيمة $a$ باستخدام المعادلة الرئيسية.
• تجربة القيم الممكنة لـ $b، c، d$ من {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
• القيود على الدرجة (تكون من الدرجة 3).
• استخدام القيم الممكنة لتحديد الدوال التي تحقق الشروط المطلوبة.