حل مسألة الدالة السداسية بشروط معطاة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $p(x)$ متعددة الحدود لدرجة 6 بحيث أن $p(1) = 1، p(2) = 2، p(3) = 3، p(4) = 4، p(5) = 5$، و $p(6) = 6$، فما هو قيمة $p(7)$؟

لنقم بحساب قيمة $p(7)$، يمكننا استخدام فكرة تمثيل الدالة بمتغير اللامتناهي “ن”، حيث يكون الحد الأعلى لدرجة المعادلة هو 6. لدينا:

$p(x) = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

حيث $a_6$، $a_5$، $a_4$، $a_3$، $a_2$، $a_1$، و $a_0$ هي معاملات المتعددة.

الشروط التي تمثل القيم المعطاة هي:

$p(1) = a_6(1)^6 + a_5(1)^5 + a_4(1)^4 + a_3(1)^3 + a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 = 1$
$p(2) = a_6(2)^6 + a_5(2)^5 + a_4(2)^4 + a_3(2)^3 + a_2(2)^2 + a_1(2) + a_0 = 2$
$p(3) = a_6(3)^6 + a_5(3)^5 + a_4(3)^4 + a_3(3)^3 + a_2(3)^2 + a_1(3) + a_0 = 3$
$p(4) = a_6(4)^6 + a_5(4)^5 + a_4(4)^4 + a_3(4)^3 + a_2(4)^2 + a_1(4) + a_0 = 4$
$p(5) = a_6(5)^6 + a_5(5)^5 + a_4(5)^4 + a_3(5)^3 + a_2(5)^2 + a_1(5) + a_0 = 5$
$p(6) = a_6(6)^6 + a_5(6)^5 + a_4(6)^4 + a_3(6)^3 + a_2(6)^2 + a_1(6) + a_0 = 6$

الآن، يمكننا حل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم المعاملات. بمجرد حساب القيم، يمكننا استخدامها لحساب $p(7)$:

$p(7) = a_6(7)^6 + a_5(7)^5 + a_4(7)^4 + a_3(7)^3 + a_2(7)^2 + a_1(7) + a_0$

هذا يعطينا قيمة الدالة عند $x = 7$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتمثيل الدالة $p(x)$ بمتغير اللامتناهي “ن” مع الاحتفاظ بدرجتها العليا ومعاملاتها المجهولة. ثم سنستخدم الشروط المعطاة لحساب قيم هذه المعاملات. سنستخدم القوانين الرياضية والجبر في هذا الحل.

لنمثل الدالة $p(x)$ بشكل عام:

$p(x) = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

والشروط المعطاة هي:

$p(1) = a_6(1)^6 + a_5(1)^5 + a_4(1)^4 + a_3(1)^3 + a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 = 1$
$p(2) = a_6(2)^6 + a_5(2)^5 + a_4(2)^4 + a_3(2)^3 + a_2(2)^2 + a_1(2) + a_0 = 2$
$p(3) = a_6(3)^6 + a_5(3)^5 + a_4(3)^4 + a_3(3)^3 + a_2(3)^2 + a_1(3) + a_0 = 3$
$p(4) = a_6(4)^6 + a_5(4)^5 + a_4(4)^4 + a_3(4)^3 + a_2(4)^2 + a_1(4) + a_0 = 4$
$p(5) = a_6(5)^6 + a_5(5)^5 + a_4(5)^4 + a_3(5)^3 + a_2(5)^2 + a_1(5) + a_0 = 5$
$p(6) = a_6(6)^6 + a_5(6)^5 + a_4(6)^4 + a_3(6)^3 + a_2(6)^2 + a_1(6) + a_0 = 6$

نحتاج الآن إلى حل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم المعاملات $a_6$، $a_5$، $a_4$، $a_3$، $a_2$، $a_1$، و $a_0$. سنقوم باستخدام القوانين الجبرية، مثل جمع وضرب الأعداد، وحل المعادلات الخطية.

بمجرد حساب قيم المعاملات، يمكننا استخدامها لحساب قيمة $p(7)$:

$p(7) = a_6(7)^6 + a_5(7)^5 + a_4(7)^4 + a_3(7)^3 + a_2(7)^2 + a_1(7) + a_0$

هذا يُعطينا القيمة المطلوبة عند $x = 7$.