حل مسألة الدائرة والقيمة الدنيا لـ y (مسألة رياضيات)

المطلوب: إيجاد القيمة الدنيا للمتغير $y$ في العبارة $x^2 + y^2 = 14x + 48y$.

الحل:
نقوم بتجميع المتغيرات في الجهة اليسرى من المعادلة للحصول على معادلة بصيغة عامة:
$x^2 – 14x + y^2 – 48y = 0$
نحاول استكمال المربعات لجعل المعادلة بصيغة عامة لدائرة. نقسم معامل $x$ على 2 ونضيف الناتج مربعه ونفعل نفس الشيء لمعامل $y$ لإكمال المربع:
$x^2 – 14x + 49 + y^2 – 48y + 576 = 625$
$(x^2 – 14x + 49) + (y^2 – 48y + 576) = 625$
$(x – 7)^2 + (y – 24)^2 = 625$
المعادلة السابقة تمثل دائرة في الفضاء ذات مركز $(7,24)$ ونصف قطر 25.

لإيجاد أدنى قيمة لـ $y$، نعلم أن أدنى قيمة للمتغير $y$ ستكون في أعلى نقطة على الدائرة، وهذه النقطة تكون على نفس محور النقطة $(7,24)$. يكون محور النقطة الواقعة على الدائرة هو الخط الأفقي الواقع عند النقطة $(7,24)$.

ونظراً لأن المركز هو $(7,24)$، فإن أدنى قيمة لـ $y$ هي $24 – 25 = -1$.

إذاً، القيمة الدنيا لـ $y$ هي -1.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الهندسية والجبرية، وذلك لتحويل المعادلة إلى صيغة تمثل دائرة في الفضاء ومن ثم إيجاد القيمة الدنيا للمتغير $y$.

القوانين المستخدمة:

1. معادلة دائرة في الفضاء: معادلة دائرة بالشكل العام $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطر الدائرة.
2. تكميل المربعات: استخدام تكميل المربعات لتحويل معادلة من الشكل العام إلى صيغة قياسية.

الآن دعنا نبدأ بحل المسألة:

المعادلة المعطاة:
$x^2 + y^2 = 14x + 48y$

نقوم بتجميع المتغيرات في الجهة اليسرى من المعادلة:
$x^2 – 14x + y^2 – 48y = 0$

الآن نقوم بتطبيق تكميل المربعات لإكمال المربعات:
$x^2 – 14x + 49 + y^2 – 48y + 576 = 625$
$(x^2 – 14x + 49) + (y^2 – 48y + 576) = 625$
$(x – 7)^2 + (y – 24)^2 = 625$

المعادلة السابقة تمثل دائرة في الفضاء بمركز $(7,24)$ ونصف قطر 25.

أدنى قيمة للمتغير $y$ ستحدث عندما تكون $y$ قيمة متنازلة على الدائرة، أي عند النقطة الأعلى على المحور الرأسي من مركز الدائرة. لدائرة بنصف قطر 25 ومركز $(7,24)$، يكون المحور الرأسي عند $y = 24 – 25 = -1$.

بالتالي، القيمة الدنيا للمتغير $y$ هي -1.

تم استخدام الجبر والهندسة الأساسية في هذا الحل لتحويل المعادلة إلى شكل يمكن فهمه بسهولة وحساب القيمة الدنيا للمتغير $y$.