حل مسألة الحساب الوحدوي للأعداد (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنقم بتحديد عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ التي تقل عن $12$ بحيث تكون المتواليات $ax\equiv 1\pmod{12}$ لها حلاً في $x$.

الحل:
لحل هذه المسألة، نستخدم خواص الحساب الوحدوي. يُعتبر الحل ممكنًا إذا وحسب إذا كانت $a$ و $12$ متفقتين (coprime)، أي أنهما لا يحتويان على عوامل مشتركة سوى الواحد. يُعبّر عن هذا بمفهوم الأعداد المتوازية لـ $12$.

نقوم بتحديد الأعداد الموجبة التي تفي بشرط الاختلاف في الأعداد المتوازية لـ $12$. نبدأ بتحديد العوامل الأولية للعدد $12$، وهي $2$، $3$، و $4$. الأعداد التي تختلف عن $12$ في الواحد تكون $11$، $9$، و $8$. نجد أن العدد $1$ هو الوحيد الذي يشترك مع هذه الأعداد في خاصية عدم وجود عوامل مشتركة غير الواحد. لذا، يكون لدينا مجموعة من الأعداد المتوازية لـ $12$ هي $1$، $5$، $7$، و $11$.

إذاً، الأعداد الموجبة $a$ التي تقل أقل من $12$ وتحقق $ax\equiv 1\pmod{12}$ لها حلاً في $x$ هي $1$، $5$، $7$، و $11$.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على فهم فحص الأعداد المتوازية للعدد $12$ وكيف يمكن للعدد $a$ أن يكون متفقًا مع $12$ من حيث الحساب الوحدوي.

القوانين المستخدمة:

1. الحساب الوحدوي:

   • إذا كانت $ax \equiv 1 \pmod{m}$ و $bx \equiv 1 \pmod{m}$، فإن $abx \equiv 1 \pmod{m}$.
   • إذا كانت $ax \equiv 1 \pmod{m}$، فإن $a^{-1}x \equiv 1 \pmod{m}$ حيث $a^{-1}$ هو عنصر العكس لـ $a$ بالنسبة للضرب الوحدوي.

2. الأعداد المتوازية:

   • إذا كانت $a$ و $m$ متفقتين (coprime)، فهي لا تحتوي على عوامل مشتركة سوى الواحد.

الحل بالتفصيل:
نقوم بتحديد العوامل الأولية للعدد $12$، وهي $2$، $3$، و $4$. ثم نحدد الأعداد التي تختلف عن $12$ في الواحد، وهي $11$، $9$، و $8$. الآن نبحث عن الأعداد التي تكون متفقة مع $12$، أي لا تحتوي على عوامل مشتركة سوى الواحد.

• لـ $a=1$، نجد أن $1$ و $12$ متفقتين.
• لـ $a=5$، نجد أن $5$ و $12$ ليستا متفقتين (لأن $5$ لديها عامل $5$ المشترك مع $12$).
• لـ $a=7$، نجد أن $7$ و $12$ متفقتين.
• لـ $a=11$، نجد أن $11$ و $12$ متفقتين.

إذاً، الأعداد المتفقة مع $12$ هي $1$، $7$، و $11$، وهي الأعداد التي تحقق شرط $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لها حلاً في $x$.

تم استخدام الحساب الوحدوي لتحديد أعداد متفقة مع $12$، حيث يتيح لنا العدد $a$ الذي يكون متفقًا مع $12$ أن يكون لديه عنصر عكس يمكن استخدامه في حسابات الحساب الوحدوي لضمان حل المعادلة $ax \equiv 1 \pmod{12}$.