حل مسألة الحركة المتسارعة بالزمن (مسألة رياضيات)

بدأت السيارة بالتحرك بسرعة 30 كيلومتر في الساعة، وتم زيادة سرعة السيارة بمقدار 2 كيلومتر في الساعة في نهاية كل ساعة. الهدف هو حساب المسافة الإجمالية التي قطعتها السيارة خلال الساعات الأولى 11 من الرحلة.

للقيام بذلك، نستخدم مفهوم الزمن والسرعة لحساب المسافة. سنقوم بحساب المسافة التي قطعتها السيارة في كل ساعة ثم نجمع هذه المسافات للحصول على المسافة الإجمالية.

في الساعة الأولى: $30$ كم/س
في الساعة الثانية: $32$ كم/س
الساعة الثالثة: $34$ كم/س
.
.
.

الساعة الحادية عشرة: $30 + 2 \times (11-1) = 50$ كم/س

الآن، سنقوم بجمع هذه المسافات:
$30 + 32 + 34 + \ldots + 50$

نستخدم مجموع تسلسل الأعداد الزوجية للحصول على الناتج، والذي يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية:
$S = \frac{n}{2} \times (a + l)$
حيث:
$S$ هو إجمالي المسافة المقطوعة.
$n$ هو عدد الساعات.
$a$ هو السرعة الأولى.
$l$ هو السرعة الأخيرة.

نعوض في الصيغة:
$S = \frac{11}{2} \times (30 + 50)$

الآن نقوم بحساب الناتج:
$S = \frac{11}{2} \times 80 = 440$

إذاً، المسافة الإجمالية التي قطعتها السيارة في الساعات الأولى 11 من الرحلة هي 440 كيلومتر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الحركة المتسارعة المتساوية، حيث تزيد السرعة بمقدار ثابت في كل فترة زمنية. يمكن استخدام القوانين التي ترتبط بالحركة المتسارعة المتساوية لحساب المسافة المقطوعة في فترات زمنية محددة.

القوانين المستخدمة:

1. السرعة النهائية:
   $v_f = v_i + at$
   حيث:
   $v_f$ هي السرعة النهائية.
   $v_i$ هي السرعة الأولية.
   $a$ هو التسارع.
   $t$ هو الزمن.

2. المسافة:
   $s = v_i t + \frac{1}{2} a t^2$
   حيث:
   $s$ هي المسافة المقطوعة.

3. مجموع المسافات:
   $S = \frac{n}{2} (a + l)$
   حيث:
   $S$ هي إجمالي المسافة المقطوعة.
   $n$ هو عدد الفترات الزمنية.
   $a$ هو الزيادة في السرعة في كل فترة زمنية.
   $l$ هي السرعة النهائية في الفترة الأخيرة.

الحل:

1. حساب السرعة في نهاية كل ساعة:

   • الساعة الأولى: $30 + 2 \times 1 = 32$ كم/س
   • الساعة الثانية: $30 + 2 \times 2 = 34$ كم/س
   • وهكذا.

2. حساب المسافة في نهاية كل ساعة باستخدام القانون الثاني:

   • الساعة الأولى: $s_1 = 30 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 1^2 = 30$ كم
   • الساعة الثانية: $s_2 = 32 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 1^2 = 33$ كم
   • وهكذا.

3. حساب المسافة الإجمالية بجمع هذه المسافات.

   $S = s_1 + s_2 + \ldots$

   يمكن أيضًا استخدام القانون الثالث لحساب إجمالي المسافة:

   $S = \frac{n}{2} (a + l)$

   حيث:

   • $n = 11$ (عدد الساعات).
   • $a = 2$ (الزيادة في السرعة في كل ساعة).
   • $l = 30 + 2 \times (11-1) = 50$ (السرعة النهائية في الساعة الحادية عشرة).

   $S = \frac{11}{2} (2 + 50) = 440$ كم

إذاً، إجمالي المسافة المقطوعة هو 440 كيلومتر.