حل مسألة الحركة الدائرية لعقرب الساعات (مسألة رياضيات)

السؤال:
عندما يكون طول عقرب الساعات كما هو موضح في الساعة أدناه 6 سم، ما هي المسافة التي يقطعها طرف عقرب الساعات خلال فترة X دقيقة؟ قدم إجابتك بوحدات السنتيمتر واستخدم قيمة π في إجابتك.

الحل:
لنحسب المسافة التي يقطعها طرف عقرب الساعات خلال الزمن X. إذا كان طول العقرب 6 سم، فإننا نعلم أن العقرب يقطع مسافة تعادل طوله في كل دورة كاملة حول الساعة.

لحساب المسافة المقطوعة، يمكننا استخدام العلاقة التالية: المسافة = الطول × الزاوية المقطوعة / 360

حيث أن الزاوية المقطوعة تعادل زمن الدورة (X دقيقة) مضروبة في سرعة الدوران (بالدرجات في الدقيقة). ونعلم أن الدورة الكاملة حول الساعة تعادل 360 درجة.

لدينا:
المسافة = 6 × (X / 360) × 360

القيمة (X / 360) تُختصر، لذا المسافة المقطوعة تكون مجرد الطول الذي هو 6 سم.

الإجابة النهائية:
المسافة = 6 سم

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الزوايا والحركة الدائرية. القوانين المستخدمة تعتمد على علاقة الطول، الزاوية، والمسافة في الحركة الدائرية. لنبدأ بتوضيح الحل:

المعطيات:

• طول عقرب الساعات = 6 سم.

نعلم أن العقرب يقوم بدورة كاملة حول الساعة في فترة زمنية معينة. في هذه الحالة، سنفترض أن العقرب يقوم بدورة واحدة في ساعة واحدة.

القوانين المستخدمة:

1. العلاقة بين المسافة والزاوية في الحركة الدائرية:
   المسافة = الطول × (الزاوية المقطوعة / 360)

2. العلاقة بين الزاوية والزمن:
   الزاوية المقطوعة = السرعة الزاوية × الزمن

3. السرعة الزاوية في الدورة الكاملة:
   الزاوية المقطوعة في الدورة الكاملة = 360 درجة

الحل:
لنقم بحساب المسافة المقطوعة خلال دورة واحدة حول الساعة:
$\text{المسافة} = \text{الطول} \times \left(\frac{\text{الزاوية المقطوعة}}{360}\right)$

نعلم أن العقرب يقوم بدورة كاملة في ساعة واحدة، لذا الزاوية المقطوعة في الدورة الكاملة تساوي 360 درجة. وبما أن الزاوية تتناسب مع الزمن، يمكننا كتابة العلاقة التالية:
$\text{الزاوية المقطوعة} = \text{السرعة الزاوية} \times \text{الزمن}$

نعرف أن السرعة الزاوية هي الزاوية المقطوعة في الزمن الواحد، لذا:
$\text{السرعة الزاوية} = \frac{\text{الزاوية المقطوعة}}{\text{الزمن}}$

بما أن الزاوية المقطوعة في الدورة الكاملة تساوي 360 درجة، يمكننا كتابة:
$\text{السرعة الزاوية} = \frac{360}{60}$

وبما أن الطول الكلي المقطوع هو 6 سم، يمكننا استخدام العلاقة الأولى لحساب المسافة:
$\text{المسافة} = 6 \times \left(\frac{360}{60} \times X \times \frac{1}{360}\right)$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة ونحصل على:
$\text{المسافة} = X$

لذا، المسافة التي يقطعها طرف عقرب الساعات خلال فترة X دقيقة هي X سم.

أتمنى أن يكون الحل قد وضح الفكرة بشكل جيد.