حل مسألة الحد الأدنى: التبادل والتجميع (مسألة رياضيات)

لنعيد كتابة المسألة باللغة العربية:

نبحث عن أصغر قيمة ممكنة للمجموع
$\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a},$
حيث $a,$ $b,$ و $c$ أعداد حقيقية موجبة.

الآن، سنقوم بحل المسألة:

لنستخدم تقنية التعويض لتبسيط التعبير وإيجاد الحد الأدنى. لهذا الغرض، دعونا نفكر في تعويض قيمة متغيرة بنفسها.

لنجرب التعويض بالتالي:

لو وضعنا $b$ بدلاً من $a$ و $c$ بدلاً من $b$ و $a$ بدلاً من $c$، يصبح التعبير:
$\frac{b}{2c} + \frac{c}{4a} + \frac{a}{8b}.$

وبما أننا نريد أصغر قيمة ممكنة، فإنه يبدو منطقيًا أن نحاول توحيد المعادلتين، لأن العبارات في المعادلتين متشابهة بشكل كبير.

لنحاول تجميع المعادلتين معًا:

$\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a} + \frac{b}{2c} + \frac{c}{4a} + \frac{a}{8b}.$

بعد ذلك، سنقوم بتجميع المتغيرات المماثلة لتسهيل العملية:

$\left(\frac{a}{2b} + \frac{b}{2c} + \frac{c}{2a}\right) + \left(\frac{b}{4c} + \frac{c}{4a} + \frac{a}{4b}\right).$

الآن نلاحظ أننا نستطيع فصل العبارتين المتشابهتين، لتبدو المعادلة بصورة أوضح:

$\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b}\right).$

الآن، يمكننا ملاحظة أن الجزء الأول يمكن أن يتبنى قيمة تدرج هندسي من المتغيرات، في حين يمكن أن يتبنى الجزء الثاني قيمة تدرج هندسي مقلوب.

للتبسيط، دعونا نفرض أن
$x = \frac{a}{b},$
$y = \frac{b}{c},$
$z = \frac{c}{a}.$

بالتالي، فإننا نملك:
$\frac{1}{2}(x + y + z) + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right).$

الآن، نحاول التعبير بشكل أكثر تنظيمًا وفهمًا:

$\frac{1}{2}(x + y + z) + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right).$

المطلوب هو الحد الأدنى، والذي سيحدث عندما تتخذ $x,$ $y,$ و $z$ قيمًا معينة.

لنقم بتطبيق مفهوم القيم الوسطية (AM-GM)، حيث نعلم أن الحد الأدنى للمتباينات يتحقق عندما تكون كل القيم متساوية.

لذا، نفترض:
$x = y = z.$

بما أننا نحاول العثور على أصغر قيمة، فإننا نحاول تجنب قيم $x,$ $y,$ و $z$ المتساوية الكبيرة جدًا. فإذا كانت القيم صغيرة، فإن التعبير ككل سيكون صغيرًا.

لذا، نختار القيم الأصغر التي تكون مقبولة. نختار $x = y = z = 1$.

باستخدام هذه القيم، يكون لدينا:
$\frac{1}{2}(1 + 1 + 1) + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}\right).$

بالتالي:
$\frac{1}{2}(3) + \frac{1}{4}(3) = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}.$

وهذا هو الحد الأدنى للمتباينة، والذي يحدث عندما تكون $a = b = c$ بقيمة واحدة.

لحل المسألة والوصول إلى أصغر قيمة ممكنة للتعبير
$\frac{a}{2b} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{8a},$
نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين رياضية.

1. قانون التبادل البسيط (Commutative Property):
   هذا القانون ينص على أن ترتيب الأعداد في الجمع أو الضرب لا يؤثر على الناتج النهائي. في هذه المسألة، يمكننا تغيير ترتيب العبارات دون تغيير القيمة النهائية.

2. قانون الجمع (Associative Property):
   هذا القانون ينص على أن ترتيب الأعداد في الجمع لا يؤثر على الناتج النهائي. في المسألة، نستفيد من هذا القانون لتجميع العبارات بشكل مناسب.

3. تقنية التعويض (Substitution):
   نستخدم تقنية التعويض لتبسيط التعبير وإيجاد الحد الأدنى. هذا يساعد في تبسيط العبارات وإيجاد الأصغر قيمة ممكنة.

4. مفهوم القيم الوسطية (AM-GM inequality):
   هذا المفهوم يقول إن متوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد يكون أكبر من أو يساوي المتوسط الهندسي لهذه الأعداد. ويحقق المساواة عندما تكون جميع الأعداد متساوية. في حل المسألة، نستخدم هذا المفهوم للعثور على القيمة الأدنى للتعبير بتجريب القيم المتساوية للمتغيرات.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع تبسيط المعادلة والوصول إلى الحل بسهولة أكبر. القوانين المذكورة توجهنا نحو الطرق الصحيحة لحل المسألة بشكل فعال ومنطقي.