حل مسألة الجذور المتكررة: معادلة $\bowtie$ والقيمة $y$ (مسألة رياضيات)

إذا كان $a \bowtie b = a + \sqrt{b + \sqrt{b + \sqrt{b + …}}}$ و $4 \bowtie y = 10$، فما قيمة $y$؟

لحل هذه المسألة، نبدأ باستخدام التعريف المعطى للعملية $\bowtie$ لفهم كيفية عملها. في هذه العملية، يتم إضافة العدد $a$ إلى جذر متتالي من العدد $b$، حيث يتم تكرار الجذر متعدد مرات.

في الحالة الأولى، $4 \bowtie y = 10$، نستخدم القيم المعطاة ونقوم بتعويض $a = 4$ ونبحث عن $y$ بحيث يكون الناتج مساوياً ل $10$.

لذا، لدينا:
$4 + \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 10$

نلاحظ أن العملية في الجذر تشبه التعريف الأصلي للعملية $\bowtie$، لكن بدون قيمة $a$ في بداية العملية. هذا يعني أنها تصبح ببساطة $y$ في مكان $b$.

لحل هذا المعادلة، نقوم بتبسيط المعادلة بفك الجذر المتكرر كالتالي:

$4 + \sqrt{y + 10} = 10$

نقوم بطرح $4$ من الجانبين للعملية:

$\sqrt{y + 10} = 6$

الآن نقوم برفع الطرفين في المعادلة إلى الأساس المزدوج للإلغاء:

$(\sqrt{y + 10})^2 = 6^2$

$y + 10 = 36$

ثم نقوم بطرح $10$ من الجانبين:

$y = 36 – 10$

$y = 26$

إذاً، القيمة الصحيحة ل $y$ هي $26$.

لحل المسألة، استخدمنا التعريف المعطى للعملية $\bowtie$ والذي يتضمن إضافة عدد $a$ إلى جذر متتالي من العدد $b$، مع استمرار التكرار. واستخدمنا قانون حسابي لفك تعريف الجذر المتكرر للوصول إلى معادلة يمكن حلها بسهولة.

الخطوات التفصيلية لحل المسألة كانت كالتالي:

1. استخدمنا التعريف المعطى للعملية $\bowtie$ لفهم كيفية عملها وتمثيلها.
2. استخدمنا القيم المعطاة في المسألة لوضع المعادلة التي نحتاج لحلها.
3. بدأنا بتطبيق التعريف في المعادلة الرئيسية للعثور على قيمة $y$.
4. قمنا بتبسيط المعادلة عن طريق فك الجذر المتكرر للعثور على قيمة $y$.
5. استخدمنا قوانين الجبر مثل قانون الأسس لحل المعادلة.

القوانين المستخدمة:

1. تعريف العملية $\bowtie$: يتضمن إضافة عدد $a$ إلى جذر متتالي من العدد $b$.
2. قانون فك الجذر المتكرر: نقوم بتبسيط التعبير داخل الجذر المتكرر للوصول إلى معادلة يمكن حلها بسهولة.
3. قانون حسابي للجذور: استخدمنا قوانين الجبر مثل رفع الأسس للجذور لحل المعادلة.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من حل المسألة والوصول إلى القيمة الصحيحة لـ $y$ وهي $26$.