حل مسألة التوسع الباعثي (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير $\binom{100}{0} – \binom{100}{1} + \binom{100}{2} – \dots + \binom{100}{100}$ هي القيمة الناتجة عن جمع الأعداد الثنائية لـ 100 مع اختلاف الاشارة بينها. يمكن تفسير هذا الشكل كجزء من تطبيق قاعدة التطوير الباعثي. يستخدم النموذج العام لهذه القاعدة في المثال هو $(a+b)^n$ حيث يتم تطبيق قاعدة التطوير الباعثي للتوسعة. في حالتنا، نريد العثور على القيمة عندما يكون $a=1$ و $b=-1$ بالترتيب. فإذا كتبنا هذه القاعدة للتوسعة، سنجد أن القيمة المطلوبة تكون $2^n$ وفي حالتنا تكون $2^{100}$، أو بمعنى آخر 2 مرفوعة إلى 100.

لكن بما أن السؤال يتعلق بالمجموعة المحددة في السؤال، يمكننا تفسير الجواب على أنه 2 مرفوعة إلى القوة 100، أو $2^{100}$.

لحل المسألة، نستخدم فكرة التوسع الباعثي باستخدام قاعدة القوانين الجبرية للمثلثات النظرية. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قاعدة التوسع الباعثي: تقول إنه عندما نطبق $(a+b)^n$، فإن الناتج يكون مجموع التوسعات التالية:
   $(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$

2. قاعدة الثنائيات: تقول إنه يمكننا حساب معاملات التوسع الثنائي بواسطة الصيغة:
   $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

3. قاعدة الجمع والطرح: تشير إلى إمكانية جمع وطرح المعاملات بحرية.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

نريد حساب قيمة التعبير:
$\binom{100}{0} – \binom{100}{1} + \binom{100}{2} – \dots + \binom{100}{100}$

نستخدم قاعدة التوسع الباعثي مع $a = 1$ و $b = -1$ ، حيث $a$ يمثل العدد 1 و $b$ يمثل العدد -1. إذاً، نحصل على:
$(1 – 1)^{100} = 0^{100} = 0$

هذا يعني أن قيمة التعبير الأصلي هي 0.

السبب في ذلك هو أن جميع الأعداد الثنائية في التوسع الباعثي ستلغى بعضها بعضًا، والتي تحدث عندما يكون لدينا $a$ و $b$ متساويان ومعاكسان بالنسبة للإشارة.

لذا، قيمة التعبير هي 0، والتي تكون النتيجة المتوقعة والتي تتفق مع نتيجة استنتاج قاعدة التوسع الباعثي.