حل مسألة: البحث عن عدد مكعب

المسألة الحسابية تطلب منا العثور على أصغر عدد صحيح إيجابي $x$ بحيث يكون فرق $66 – x$ مكعبًا لعدد صحيح إيجابي. لنقم بتفكيك المسألة:

نريد إيجاد عدد صحيح $x$ بحيث يكون $66 – x$ مكعبًا لعدد صحيح. بمعنى آخر، نحتاج إلى حل المعادلة:
$66 – x = y^3$
حيث $y$ هو عدد صحيح.

نقوم بترتيب المعادلة للعثور على قيمة $x$:
$x = 66 – y^3$

الآن، يتعين علينا البحث عن أصغر قيمة لـ $x$ بحيث يكون $y$ عدد صحيح. قد نقوم بتجريب قيم مختلفة لـ $y$ حتى نجد القيمة المناسبة. ولكن يمكننا استخدام بعض الملاحظات لتبسيط العملية:

• نحن نبحث عن قيمة $x$ إيجابية، لذا يجب أن يكون $y^3 < 66$، وهذا يعني أن $y$ يجب أن يكون أقل من $\sqrt[3]{66}$.
• نعلم أن $4^3 = 64$ و $5^3 = 125$، لذا يجب أن يكون $y$ بين 4 و 5.

نقوم بتجريب القيم لـ $y$ في هذا النطاق ونبحث عن أصغر قيمة لـ $x$ التي تفي بالشرط. بعد التجريب، نجد أن عندما يكون $y = 4$، نحصل على:
$x = 66 – 4^3 = 2$

إذاً، القيمة الصغرى لـ $x$ هي 2.

لنقم بتفصيل حلا المسألة وذلك باستخدام القوانين الحسابية المستخدمة في العملية:

المعادلة التي نعمل على حلها هي:
$x = 66 – y^3$

حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه، و $y$ هو العدد الذي يمثل جذر العدد الصحيح الذي يكون $66 – x$ مكعبًا.

لنبدأ بفحص القيم الممكنة لـ $y$. نعلم أننا نبحث عن جذر مكعب لعدد صحيح، لذا يمكننا تجريب الأعداد الصحيحة التي تكون أقل من $\sqrt[3]{66}$. في هذه الحالة، يكون $\sqrt[3]{66}$ أقل من 5 (لأن $5^3 = 125$)، لذا يمكننا تجريب القيم من 1 إلى 4.

لنرى كيف نستخدم القوانين الحسابية في الحل:

1. عين النطاق الممكن لـ $y$:

   • نعلم أن $1^3 = 1$ و $4^3 = 64$، لذا نختار القيم من 1 إلى 4 لتجريبها.

2. استخدام المعادلة لحساب $x$:

   • نستخدم المعادلة $x = 66 – y^3$ لحساب قيمة $x$ لكل قيمة من $y$ التي قمنا بتجريبها.

3. البحث عن أصغر قيمة لـ $x$:

   • نقوم بتجريب القيم المختلفة لـ $y$ ونحسب قيمة $x$ المتعلقة بها.

4. التحقق من الشرط:

   • نتأكد أن $66 – x$ هو مكعب لعدد صحيح.

بتطبيق هذه الخطوات، نجد أن عند $y = 4$، يكون $x = 66 – 4^3 = 2$، ونتأكد من أن $66 – 2$ هو مكعب لعدد صحيح ( $64 = 4^3$ ).

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

• القوانين الحسابية الأساسية: جمع وطرح الأعداد.
• التجريب والخطأ: تجريب القيم المختلفة للعثور على الحلا المناسب.
• فحص الشرط: التأكد من أن الناتج يفي بالشرط المطلوب (أن يكون $66 – x$ مكعبًا).