حل مسألة: البحث عن أصغر قيمة x (مسألة رياضيات)

المسألة:
ما هو أصغر عدد صحيح إيجابي x بحيث يكون الفرق بين 720 و x عبارة عن مكعب لعدد صحيح إيجابي؟

الحل:
لنحل هذه المسألة، لنبدأ بتحليل العبارة وفهمها بشكل أفضل. الفرق بين 720 و x يمكن تعبيره على النحو التالي:

$720 – x = n^3$

حيث n هو عدد صحيح إيجابي. الآن، لنبحث عن أصغر قيمة لـ x.

نقوم بترتيب المعادلة كما يلي:

$x = 720 – n^3$

نريد أن نجد أصغر قيمة لـ x، لذا سنبدأ باختيار أصغر قيمة لـ n ونزيد منها تدريجياً. إذا كان $n = 1$، فإن:

$x = 720 – 1^3 = 719$

لكن هذا ليس مكعبًا لعدد صحيح. نقوم بزيادة قيمة n بشكل تدريجي حتى نجد عددًا صحيحًا n يجعل $720 – n^3$ يكون مكعبًا.

بمجرد أن نجد n، سنستخدمه لحساب x بواسطة المعادلة $x = 720 – n^3$.

يرجى ملاحظة أن هذا هو نهج التجريب والخطأ، وليس هناك طريقة تحليلية مباشرة لهذا النوع من المسائل. دعونا نقوم بتجربة القيم تدريجياً:

إذا كان $n = 2$، فإن $x = 720 – 2^3 = 712$

وإذا كان $n = 3$، فإن $x = 720 – 3^3 = 657$

وإذا كان $n = 4$، فإن $x = 720 – 4^3 = 544$

نستمر في هذه العملية حتى نجد أول قيمة لـ n تجعل $720 – n^3$ مكعبًا.

يمكننا ملاحظة أن عند $n = 8$، نحصل على:

$x = 720 – 8^3 = 464$

الآن، إذا كان $n = 8$، فإن $x = 464$ ونجد أن $720 – x = 720 – 464 = 256$، وهو مكعب للعدد $n = 4$.

إذاً، أصغر قيمة لـ x التي تحقق الشرط هي $x = 464$، حيث $720 – x = 256$ وهو مكعب للعدد $n = 4$.

لنقم بفحص المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية والتفكير اللوجي. المعادلة التي نحاول حلها هي:

$x = 720 – n^3$

حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه، و$n$ هو عدد صحيح إيجابي. يتعين أن يكون الفرق $720 – x$ عبارة عن مكعب لعدد صحيح.

لنقم بتحليل الحل:

1. التجريب والخطأ:
   نستخدم التجريب والخطأ لاختبار قيم مختلفة لـ $n$ ونرى ما إذا كانت تحقق الشرط. نكون قد بدأنا بالفعل بهذا النهج في الرد السابق.

2. استخدام القوانين الرياضية:
   نستخدم قوانين الجبر لتبسيط المعادلة وفهمها بشكل أفضل. في هذه الحالة، لا يمكن تبسيط المعادلة بشكل كبير، ولكننا نستخدم الجبر للعبور من مرحلة إلى أخرى.

   مثلا، لتسهيل الفهم، يمكننا تحويل المعادلة إلى صيغة أخرى مشابهة:

   $n^3 = 720 – x$

   هنا نلاحظ أن الجهة اليمنى من المعادلة هي عبارة عن فرق مكعبين. وفي محاولة لتسهيل البحث، قد نتذكر قاعدة الفارق الثلاثي:

   $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

   يمكننا استخدام هذه القاعدة عند البحث عن أصغر قيمة لـ $n$.

3. التحقق:
   بمجرد أن نجد قيمة لـ $n$ باستخدام التجريب والخطأ أو بتحليل المعادلة، نتحقق من أن القيمة التي نحصل عليها لـ $x$ تحقق الشرط المطلوب، أي أن $720 – x$ يكون مكعبًا لعدد صحيح.

في هذه المسألة، استخدمنا التجريب والخطأ لاختبار قيم مختلفة لـ $n$ حتى وجدنا أول قيمة تحقق الشرط. استندنا أيضاً إلى الجبر لتحليل المعادلة وفهمها بشكل أفضل. لم يكن هناك استخدام مباشر لقوانين معينة في هذه المسألة بما أن الحل كان بشكل رئيسي استناداً إلى التجريب والخطأ والتفكير اللوجي.