حل مسألة الباقي المتساوي (مسألة رياضيات)

نحتاج إلى إيجاد العدد الصحيح $n$ الذي يُرضي المعادلة التالية:
$n \equiv 10389 \pmod{12}.$

لفهم هذه المعادلة بشكل أفضل، دعونا نفسر ما تعنيه. عندما نقول أن $n$ متطابق مع $10389 \pmod{12}$، فإننا نعني أنه عند قسمة $n$ على $12$، يكون لدينا باقٍ متساويًا لـ $10389$.

الآن، لنقوم بالحساب. سنقوم بقسم $10389$ على $12$ لنحسب الباقي، وهو ما يهمنا في هذه الحالة.

$10389 \div 12 = 865 \, \text{والباقي} \, 9.$

إذاً، يكون لدينا $n \equiv 9 \pmod{12}$.

الآن، كما هو واضح، الباقي هو $9$، والذي يكون أصغر من $12$. لذا، العدد $n$ يمكن أن يكون أي عدد صحيح موجب يبدأ من $0$ إلى $11$.

لذا، الحل للمسألة هو $n = 9$.

لحل المسألة التي تتعلق بالتحقق من القيمة المتبقية عند القسمة، نحتاج إلى فهم عدة مفاهيم وقوانين في الجبر العددي والحساب المودولاري.

أولاً، دعنا نفهم مفهوم القسمة والباقي. عند قسم عدد صحيح على عدد آخر، نحصل على قسمة وباقي. الباقي هو العدد الذي يتبقى بعد عملية القسمة.

ثانياً، في الحساب المودولاري، نحن نعمل على تحديد باقي القسمة عندما نقوم بقسم عدد على عدد آخر. في هذه المسألة، نريد إيجاد العدد $n$ الذي يمثل نفس الباقي عندما نقسم $10389$ على $12$.

القاعدة الرئيسية التي نعتمد عليها في هذا السياق هي قاعدة الباقي المتساوي. إذا كان لدينا عددين $a$ و $b$، وكان باقي قسمة $a$ على $n$ متساويًا مع باقي قسمة $b$ على $n$، فإن باقي قسمة $a-b$ على $n$ يكون صفرًا. وهذا يمكن تعبيره رياضيًا كالتالي:

$a \equiv b \pmod{n} \implies (a – b) \equiv 0 \pmod{n}$

الآن، دعنا نطبق هذه القاعدة على مسألتنا. نريد أن نجد $n$ حيث:

$n \equiv 10389 \pmod{12}$

نقوم بقسم $10389$ على $12$:

$10389 \div 12 = 865 \, \text{مع باقي} \, 9.$

وبما أن باقي القسمة هو $9$، نحصل على المعادلة التالية:

$n \equiv 9 \pmod{12}$

بما أن الباقي يتراوح بين $0$ و $11$، فإن الحل لهذه المسألة هو $n = 9$.

في الختام، فهم قواعد الباقي والقسمة المودولارية أمر مهم لحل مثل هذه المسائل الرياضية، حيث تسمح لنا هذه القواعد بتحليل الأعداد بشكل فعال وفهم خصائصها في نطاقات محددة.