حل مسألة الباقي الرياضي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بعدد صحيح محدد n، حيث يكون باقي قسمة n^2 على 5 هو 4، وباقي قسمة n^3 على 5 هو 2. يُطلب منا حساب الباقي عند قسم n على 5.

لنقم بكتابة المسألة بطريقة مبسطة:
“إذا كان لدينا عدد صحيح موجب n، يكون الباقي عند قسم n^2 على 5 هو 4، والباقي عند قسم n^3 على 5 هو 2. ما هو الباقي عند قسم n على 5؟”

الآن، سنقوم بحساب الحل:

للعثور على الباقي عند قسم n على 5، سنستخدم المعلومات المعطاة بالمسألة. لدينا باقي قسم n^2 على 5 يكون 4، وباقي قسم n^3 على 5 يكون 2.

سنقوم بتحليل هذه المعلومات باستخدام الفحص الدقيق للأمثلة الممكنة. نبدأ باستخدام n=1:

• عندما نرفع 1 إلى السلطة الثانية، نحصل على 1، والباقي عند قسم 1 على 5 هو 1 (ليس 4).
• عندما نرفع 1 إلى السلطة الثالثة، نحصل أيضًا على 1، والباقي عند قسم 1 على 5 هو 1 (ليس 2).

نحاول n=2:

• عندما نرفع 2 إلى السلطة الثانية، نحصل على 4، والباقي عند قسم 4 على 5 هو 4.
• عندما نرفع 2 إلى السلطة الثالثة، نحصل على 8، والباقي عند قسم 8 على 5 هو 3 (ليس 2).

نحاول n=3:

• عندما نرفع 3 إلى السلطة الثانية، نحصل على 9، والباقي عند قسم 9 على 5 هو 4.
• عندما نرفع 3 إلى السلطة الثالثة، نحصل على 27، والباقي عند قسم 27 على 5 هو 2.

نحاول n=4:

• عندما نرفع 4 إلى السلطة الثانية، نحصل على 16، والباقي عند قسم 16 على 5 هو 1 (ليس 4).
• عندما نرفع 4 إلى السلطة الثالثة، نحصل على 64، والباقي عند قسم 64 على 5 هو 4.

نحاول n=5:

• عندما نرفع 5 إلى السلطة الثانية، نحصل على 25، والباقي عند قسم 25 على 5 هو 0 (ليس 4).
• عندما نرفع 5 إلى السلطة الثالثة، نحصل على 125، والباقي عند قسم 125 على 5 هو 0 (ليس 2).

بناءً على الفحص، يظهر أن القيمة المناسبة لـ n هي 3. عندما نرفع 3 إلى السلطة الثانية، نحصل على 9، والباقي عند قسم 9 على 5 هو 4، وعندما نرفع 3 إلى السلطة الثالثة، نحصل على 27، والباقي عند قسم 27 على 5 هو 2. بالتالي، يكون الباقي عند قسم n على 5 هو 3.

لحل المسألة، سنعتمد على استخدام القوانين الرياضية والحسابية المتعلقة بالأعداد الصحيحة وعمليات الرفع إلى الأس وقوانين باقي القسمة.

المسألة تتعلق بالباقي عند قسم n^2 على 5 والباقي عند قسم n^3 على 5. لحساب الباقي عند قسم عدد صحيح على 5، يمكننا استخدام قاعدة باقي القسمة، حيث إذا كانت a و b أعداد صحيحة وكان باقي قسم a على b هو r، فإن باقي قسم a^k على b هو r^k.

لدينا الآن:
$(n^2) \mod 5 = 4$
$(n^3) \mod 5 = 2$

سنقوم بتحليل هذه المعلومات باستخدام القوانين:

الباقي عند رفع العدد إلى السلطة:

1. $(n^2) \mod 5 = 4$
   نستخدم هنا قاعدة الباقي عند رفع العدد إلى السلطة، ونجد أن القيم الممكنة لـ $(n \mod 5)$ هي 1 و 4.

2. $(n^3) \mod 5 = 2$
   نستخدم نفس القاعدة، ونجد أن القيم الممكنة لـ $(n \mod 5)$ هي 2.

اختيار القيم الممكنة:

• نجرب قيمة $n = 1$، ولكن لا تتوافق مع الشروط.
• نجرب قيمة $n = 2$، ولكن أيضا لا تتوافق مع الشروط.
• نجرب قيمة $n = 3$، ونجد أنها تتوافق مع الشروط المعطاة.

التحقق:

• عندما نقوم برفع 3 إلى السلطة الثانية: $3^2 = 9$، وباقي القسمة على 5 هو 4.
• عندما نقوم برفع 3 إلى السلطة الثالثة: $3^3 = 27$، وباقي القسمة على 5 هو 2.

لذا، قيمة $n = 3$ تتوافق مع الشروط المطلوبة. وبالتالي، الباقي عند قسم $n$ على 5 هو 3.

تم استخدام قوانين الباقي عند القسمة وقوانين رفع العدد إلى الأس في حل هذه المسألة.