حل مسألة الاستثمار بنسب مختلفة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

جزء من مبلغ مال معين يتم استثماره بنسبة 16% سنوياً والباقي بنسبة 20% سنوياً. إذا كانت الفائدة المكتسبة في كل حالة خلال نفس الفترة متساوية، فما هو نسبة المبالغ المستثمرة؟

الحل:

لنقم بتحديد النسبة بين الأموال المستثمرة بناءً على الفائدة المكتسبة في كل حالة.

لنفرض أن المبلغ المستثمر بنسبة 16% هو x، والباقي الذي يستثمر بنسبة 20% هو (المبلغ الإجمالي – x).

الفائدة في الحالة الأولى (بنسبة 16%) = 0.16x
الفائدة في الحالة الثانية (بنسبة 20%) = 0.20(المبلغ الإجمالي – x)

وحسب الشرط في المسألة، يكون الفائدة متساوية في كلتا الحالتين، لذلك:

0.16x = 0.20(المبلغ الإجمالي – x)

الآن نقوم بحساب قيمة x:

0.16x = 0.20(المبلغ الإجمالي – x)

0.16x = 0.20x – 0.20x

0.16x + 0.20x = 0.20x – 0.20x + 0.20x

0.36x = 0.20x

الآن نقوم بحساب قيمة المبلغ الإجمالي:

المبلغ الإجمالي = x + (المبلغ الإجمالي – x)

0.20x = 0.36x – 0.16x

0.20x = 0.20x

إذًا x = المبلغ الإجمالي المستثمر بنسبة 16%

المبلغ الإجمالي المستثمر بنسبة 20% = المبلغ الإجمالي – x

إذًا المبلغ الإجمالي المستثمر بنسبة 20% = 0.20x

الآن نحسب النسبة بين المبالغ المستثمرة:

نسبة المبالغ = (المبلغ الإجمالي المستثمر بنسبة 16%) / (المبلغ الإجمالي المستثمر بنسبة 20%)

نسبة المبالغ = x / (0.20x)

نسبة المبالغ = 1 / 0.20

نسبة المبالغ = 5:1

إذًا، نسبة الأموال المستثمرة بين النسبتين هي 5:1.

بالطبع، دعونا نستكمل تفصيل حل المسألة ونشرح القوانين المستخدمة.

لنستخدم الرموز التالية:

• $x$ : المبلغ المستثمر بنسبة 16%
• $(المبلغ الإجمالي – x)$ : المبلغ المستثمر بنسبة 20%
• $I_1$ : الفائدة المكتسبة بنسبة 16%
• $I_2$ : الفائدة المكتسبة بنسبة 20%

من المسألة، نعلم أن $I_1 = I_2$، وهذا يقودنا إلى المعادلة:
$0.16x = 0.20(المبلغ الإجمالي – x)$

لحل هذه المعادلة، نقوم بتوسيع الجهتين بالضرب في 100 للتخلص من الكسور:
$16x = 20(المبلغ الإجمالي – x)$

ثم نبسط المعادلة:
$16x = 20 \times المبلغ الإجمالي – 20x$

نجمع $20x$ إلى الجهة اليمنى:
$16x + 20x = 20 \times المبلغ الإجمالي$
$36x = 20 \times المبلغ الإجمالي$

نقسم على 36 للحصول على قيمة المبلغ الإجمالي:
$المبلغ الإجمالي = \frac{36x}{20}$
$المبلغ الإجمالي = \frac{9x}{5}$

الآن، نحتاج إلى حساب النسبة بين المبلغ المستثمر بنسبة 16% والمبلغ المستثمر بنسبة 20%:
$\text{نسبة المبالغ} = \frac{x}{(المبلغ الإجمالي – x)}$

نستخدم القيمة التي حسبناها للمبلغ الإجمالي:
$\text{نسبة المبالغ} = \frac{x}{\frac{9x}{5} – x}$

نبسط الكسر في المقام:
$\text{نسبة المبالغ} = \frac{x}{\frac{4x}{5}}$

نقوم بضرب الجهتين في 5 لتجنب الكسور:
$\text{نسبة المبالغ} = \frac{5x}{4x}$

وأخيراً، نبسط الكسر:
$\text{نسبة المبالغ} = \frac{5}{4}$

لذا، النسبة بين المبلغ المستثمر بنسبة 16% والمبلغ المستثمر بنسبة 20% هي 5:4.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الفائدة: $الفائدة = الرصيد \times النسبة \times الوقت$
2. قانون التساوي في الفوائد: $I_1 = I_2$
3. قوانين الجمع والطرح والضرب في المعادلات.